線性變換，直線變直線，線段變線段的條件

如標題，複試時被問的問題，
若A為一線性變換方陣，則det(A)不等於0為
A將平面上的直線變直線，線段變線段的充分、必要或充要條件？
並請證明

充分條件(如果是把任意直線都對到直線，則是充要條件)

概要證明，假設直線參數式，寫成矩陣 \( \begin{bmatrix}x\\
y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\\
b
\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}p\\
q
\end{bmatrix}
, t\in\mathbb{R}
, p^{2}+q^{2}\neq0 \) .

乘 \( A \) 之後，可得新的坐標為 \( \begin{bmatrix}a'\\
b'
\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}p'\\
q'
\end{bmatrix} \)，其中 \( \begin{bmatrix}p'\\
q'
\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}p\\
q
\end{bmatrix} \) .

因 \( \det(A) \neq 0 \) 可推得 \( \begin{bmatrix}p'\\
q'
\end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix}0\\
0
\end{bmatrix} \) ,

所以 \( \begin{bmatrix}a'\\
b'
\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}p'\\
q'
\end{bmatrix} \) 是一條直線的參數式.

謝謝