請教一題空間題目

題目：空間中四點 \(A(3,1,2),B(3,5,0),C(0,2,4),D(2,0,6)\) ，平面 \(E\) 過 \(\overline{AB}\) 中點與 \(\overline{CD}\) 中點，若 \(A,B,C,D\) 四點到平面 \(E\) 皆等距，求 \(E\) 方程式？

題目：空間中四點 \(A(3,1,2),B(3,5,0),C(0,2,4),D(2,0,6)\) ，平面 \(E\) 過 \(\overline{AB}\) 中點與 \(\overline{CD}\) 中點，若 \(A,B,C,D\) 四點到平面 \(E\) 皆等距，求 \(E\) 方程式？

解答：

先求得 \(\overline{AB}\) 中點 \(P(3,3,1)\) 與 \(\overline{CD}\) 中點 \(Q(1,1,5)\)

再求得直線 \(PQ\) 的兩面式 \(\left\{\begin{array}{cc}x-y=0\\ 2y+z-7=0\end{array}\right.\)

令 \(E: k\left(x-y\right)+2y+z-7=0\Rightarrow E:kx+\left(2-k\right)y+z-7=0\)

因為 \(d(A,E)=d(B,E)=d(C,E)=d(D,E)\)

所以 \(\displaystyle\frac{\left|2k-3\right|}{\sqrt{k^2+\left(2-k\right)^2+1^2}}=\frac{\left|-2k+3\right|}{\sqrt{k^2+\left(2-k\right)^2+1^2}}=\frac{\left|-2k+1\right|}{\sqrt{k^2+\left(2-k\right)^2+1^2}}=\frac{\left|2k-1\right|}{\sqrt{k^2+\left(2-k\right)^2+1^2}}\)

解得 \(k=1, E: x+y+z-7=0\)

另解，

若某平面通過某兩點的中點，則必與此兩點等距離。

反之，若某兩點於此平面異側，且平面與此兩點等距離，則此平面必通過兩點的中點。



case i: 空間經平面 \(E\) 分隔成兩區域後，\(A,C\) 同側，且\(B,D\) 同側，

　　　 則平面 \(E\) 通過 \(\overline{AB}\) 中點 \((3,3,1)\)、\(\overline{CD}\) 中點 \((1,1,5)\)、\(\overline{AD}\) 中點 \((\frac{5}{2},\frac{1}{2},4)\)、\(\overline{BC}\) 中點 \((\frac{7}{2},\frac{3}{2},2)\)

　　　得平面 \(E:x+y+z-7=0\)


case i: 空間經平面 \(E\) 分隔成兩區域後，\(A,D\) 同側，且\(B,C\) 同側，

　　　 則平面 \(E\) 通過 \(\overline{AB}\) 中點 \((3,3,1)\)、\(\overline{CD}\) 中點 \((1,1,5)\)、\(\overline{AC}\) 中點 \((\frac{3}{2},\frac{3}{2},3)\)、\(\overline{BD}\) 中點 \((\frac{5}{2},\frac{5}{2},3)\)

　　　 求解後發現，上述四點不共面。

故，答案為 \(E:x+y+z-7=0\)