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修正 #10 想法的一些瑕疵
1. 利用「連續函數在緊緻集上，必有最大最小值」，說明最小值存在。
注意 \( \cos(x+2\pi)=\cos x \)，可將已知條件改為 \( \sum\limits _{i=1}^{n}a_{i}=2k\pi \), for some \( k\in\mathbb{Z} \) 且 \( a_{i}\in[0,2\pi] \)。
如此 \( S=\{\vec{x}\in[0,2\pi]^{n}\mid\sum x_{i}=2k\pi\mbox{, for some }k\in\mathbb{Z}\} \) 在 \( \mathbb{R}^{n} \) 是一個緊緻集，而 \( f:\begin{array}{c}
\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\\
x\mapsto\sum\cos(x_{i})
\end{array} \) 為 \( \mathbb{R}^{n} \) 中的連續函數，
故在 \( S \) 上有最大最小值，即存在 \( \vec{a}\in S \)，使得 \( f(\vec{a})\leq f(\vec{x}) \forall\vec{x}\in S \)。
由 \( \cos(x) \) 的週期性，可將 \( S \) 改成 \( S'=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\mid\sum x_{i}=2k\pi\mbox{, for some }k\in\mathbb{Z}\} \)。
2. 「利用 \( \cos x+\cos y=2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) \) 刻劃極值發生之所有點 \( \vec{a}\) 的形式」
取 \( x=a_{1} \), \( y=a_{i} \) 或 \( a_{i}+2\pi \) 其中之一，使得 \( \cos(\frac{x+y}{2})\leq0 \)。
則有 \( \cos x+\cos y=2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})\geq2\cos(\frac{x+y}{2})\cdot1=\cos(\frac{x+y}{2})+\cos(\frac{x+y}{2}) \)。
又 \( f(\vec{a}) \) 為最小值，故上式 \( "=" \) 成立，而得 \( \cos(\frac{x+y}{2})=0 \) 或 \( \cos(\frac{x-y}{2})=1 \)。
故 \( \vec{a} \) 滿足 \( a_{i}=a_{1} \) 或 \( \pi-a_{1} \) (mod \( 2\pi \))。
3. 「若 \( n\geq3 \)，則 \( f(\vec{a})<0 \)」：\( f(\pi,\pi,\pi,\ldots,\pi,-(n-1)\pi)\leq-n+2<0\Rightarrow f(\vec{a})<0 \)。
4. 「設 \( n\geq3 \)，說明 \( a_{1}=a_{i}\,\forall i \)。」
若 \( a_{2}=\pi-a_{1} \) (mod \( 2\pi \))，取 \( \vec{b}=(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},a_{3},\ldots,a_{n}) \)，
則 \( f(\vec{b})=f(\vec{a}) \)，即在 \( \vec{x}=\vec{b} \) 時，亦達最小值。
由 2. 得 \( \vec{b}=(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\ldots,\frac{\pi}{2}) \) (mod \( 2\pi \))，
但 \( f(\vec{b})=0 \) 與最小值為矛盾，故 \( a_{2}=a_{1} \)
同理推得 \( a_i =a_1, \forall i \)，故當 \( n =2k+1 \), \( a_i = \frac{2k\pi}{2k+1} \) 可達最小值。
[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-9-30 11:22 PM 編輯 ]
