請教排列組合問題

larson

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1^# 大中小發表於 2013-3-23 02:44 只看該作者

請教排列組合問題

將5個不同球,任選幾個,裝入3個不同的箱子中,每箱至少裝一球,則共有幾種方法數?
ans:1*4^5-3*3^5+3*2^5-1*1^5=390
完全看不懂此速解,請問如何解釋?

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老王

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2^# 大中小發表於 2013-3-23 06:57 只看該作者

回復 1# larson 的帖子

那就正面思考
至少要選到3顆球，
選3顆，只能分成1,1,1；
選4顆，只能分成2,1,1；
選5顆，可分成3,1,1或是2,2,1；
分完之後再丟給三個箱子
所以
\(\displaystyle [C_3^5+C_4^5 \times \frac{C_2^4C_1^2C_1^1}{2!}+C_5^5 \times (\frac{C_3^5C_1^2C_1^1}{2!}+\frac{C_2^5C_2^3C_1^1}{2!})] \times 3! \)

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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Ellipse

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3^# 大中小發表於 2013-3-23 08:28 只看該作者

引用:

原帖由 larson 於 2013-3-23 02:44 AM 發表
將5個不同球,任選幾個,裝入3個不同的箱子中,每箱至少裝一球,則共有幾種方法數?
ans:1*4^5-3*3^5+3*2^5-1*1^5=390
完全看不懂此速解,請問如何解釋?

取捨原理:
假設3個不同的箱子為ABC,另再找一個D箱子
1*4^5表示將5個不同球,任意裝入4個不同的箱子中的方法數
-3*3^5表示要扣去將5個不同球,任意裝入ABD(C空)或ACD(B空)或BCD(A空)箱子中的方法數
3*2^5表示要加上(剛剛多扣)將5個不同球,任意裝入AD(BC空)或BD(AC空)或CD(AB空)箱子中的方法數
-1*1^5表示要扣去將5個不同球,全部裝入D(ABC空)箱子中的方法數

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2013-3-23 08:34 AM 編輯 ]

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weiye

瑋岳

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4^# 大中小發表於 2013-3-23 08:29 只看該作者

回復 1# larson 的帖子

3個不同的箱子：A箱、B箱、C箱

另外再多一個箱子：資源回收桶

如果沒有放到 A, B, C 箱中的就放到資源回收桶。

因為A箱、B箱、C箱每箱至少有一物，

所以上面的式子就是

＂任意分＂－（＂A箱是空的，其他任意分＂+＂B箱是空的，其他任意分＂+＂C箱是空的，其他任意分＂）
　　　　　＋（＂A與B箱是空的，其他任意分＂+＂B與C箱是空的，其他任意分＂+＂C與A箱是空的，其他任意分＂）
　　　　　－（＂A,B與C箱都是空的，全都分到資源回收桶了＂）

多喝水。

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larson

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5^# 大中小發表於 2013-3-23 08:36 只看該作者

回復 4# weiye 的帖子

謝謝大家的解法

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