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題目：\(x,y\) 為實數,若 \(x^2+(y-1)^2=1\), 求 \(\displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3}\) 的最大值？最小值？
解：
令 \(\displaystyle m=\frac{x+y+1}{x-y+3}\)，則
\(\Rightarrow (1-m)x+(1+m)y+(1-3m)=0\)‧‧‧‧\(L\)
對於上述的實數 \(m\)，需存在點 \((x,y)\) 同時滿足在直線 \(L\) 與題目所給的圓～這兩個方程式，
意即題目所給的圓與直線 \(L\) 必須有交點，
\(\displaystyle \Rightarrow\) 圓心 \((0,1)\) 到直線 \(L\) 的距離要小於半徑 \(r\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\left|(1-m)\cdot0+(1+m)\cdot1+(1-3m)\right|}{\sqrt{(1-m)^2+(1+m)^2}}\leq1\)
\(\displaystyle \Rightarrow 2-\sqrt{3}\leq m\leq 2+\sqrt{3}\)
另解：
令 \(x=\cos\theta, y=1+\sin\theta\)，其中 \(\theta\in\mathbb{R}\)
令 \(\displaystyle m=\frac{x+y+1}{x-y+3}\)，則
\(\displaystyle m=\frac{\cos\theta+\sin\theta+2}{\cos\theta-\sin\theta+2}\)
\(\Rightarrow (1-m)\cos\theta+(1+m)\sin\theta=2m-2\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left|2m-2\right|\leq\sqrt{(1-m)^2+(1+m)^2}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 2-\sqrt{3}\leq m\leq 2+\sqrt{3}\)
