2000AMC12一題

若 a+b+c =10 , 求 abc+ab+ac+bc的最大值 ? (amc的試題)

補上條件 a,b,c為非負整數

(題本參考解法)

abc+ab+ac+bc=(a+1)(b+1)(c+1)-(a+b+c)-1   <= 如何得到的呢?




101.11.13版主補充
修改文章標題和補上出處
Let A,M,C and  be nonnegative integers such that \( A+M+C=12 \). What is the maximum value of \( A \cdot M \cdot C+A \cdot M+M \cdot C+C \cdot A \)?
(A)62　(B)72　(C)92　(D)102　(E)112
(2000AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... id=44&year=2000)

取 \(a=2k+10, b=-k, c=-k\)，其中 \(k\in\mathbb{R}\)

則 \(a+b+c=10\) 且 \(abc+ab+bc+ca=2k^3-7k^2-20k\)

當 \(k\to\infty\) 時，\(abc+ab+bc+ca\to\infty\)。

故，\(abc+ab+bc+ca\) 無最大值。


註：題目的 \(a,b,c\) 如果沒有「其它限制」的話，所求是沒有最大值的。

如果題目如 2000 年 AMC 的原始題目為 \(a,b,c\) 是"非負整數"且 \(a+b+c=12\) 的話，

則 \(abc+ab+bc+ca=(1+a)(1+b)(1+c)-1-(a+b+c)=(1+a)(1+b)(1+c)-13\)



由算幾不等式，可得 \(\displaystyle\frac{(1+a)+(1+b)+(1+c)}{3}\geq \sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}\Leftrightarrow 125\geq(1+a)(1+b)(1+c)\)

　　　　　　　　　　 \(\Leftrightarrow 112 \geq (1+a)(1+b)(1+c)-13\)

　　　　　　　　　　 \(\Leftrightarrow 112 \geq abc+ab+bc+ca\)

且當等號成立時，\(a=b=c=4\)。



註：把 \((1+a)(1+b)(1+c)\) 乘法展開～會有 \(a\cdot b\cdot c, 1\cdot a\cdot b, 1\cdot b\cdot c,1\cdot a\cdot c, 1\cdot 1\cdot a, 1\cdot 1\cdot b, 1\cdot 1\cdot c, 1\cdot 1\cdot 1\) 各一個，

　　所以 \((1+a)(1+b)(1+c)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\)

　　　　 \(\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca=(1+a)(1+b)(1+c)-1-(a+b+c)\)

abc+ab+ac+bc=(a+1)(b+1)(c+1)-(a+b+c)-1   這一步，如何聯想到的呢?

\(abc+ab+ac+bc\) 就是 \(a,b,c\) 任選三個相乘，加上～任選兩個相乘～

就會想說～其它的（任選一個、零個相乘）跑去哪裡了？

全部補齊的話，就是 \(abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\)

可是～那就是 \((1+a)(1+b)(1+c)\) 呀！

所以把 \((1+a)(1+b)(1+c)\) 扣掉題目沒有的 \(a+b+c+1\)，就會是題目要問的 \(abc+ab+ac+bc\) 了！