101木柵高工

你先固定 z 值，那它就是一個圓
所以隨著 z 值的改變，此圓的半徑也跟著改變
同時此圓在 z 軸的位置也著都變
所以所有圓疊起來，就成了 cone


(圖片轉貼自：Theory Of Relativity)
圖片中space，即xy平面，time軸即為z軸

\( z=\frac{1}{2}(1-x-y) \) 代入\( x^{2}+y^{2}=z^{2}\)所得到的\(3x^{2}-2xy+3y^{2}+2x+2y-1=0\)是在xy平面上的橢圓
算出來的長軸長\( \displaystyle \overline{A'B'}=2 \)，所以前面一心老師才會加上兩平面夾角的餘弦值，算出正確的長軸長\( \overline{AB}=\sqrt{6} \)




當初用SketchUp畫圖時還想到一種方法，這在考場應該想不到
平面\( x+y+2z=1 \)交三個座標軸於\( P(1,0,0) \)、\( Q(0,1,0) \)、\( \displaystyle R(0,0,\frac{1}{2}) \)
將全部的圖形沿著z軸旋轉\( 45^o \)，讓\( \overline{OM} \)變成新的y軸，x軸伸出螢幕外
此時M點坐標為\( \displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2},0) \)，R點坐標為\( \displaystyle (0,\frac{1}{2}) \)
利用\( \overline{RM} \)的直線方程式和圓錐交於A、B兩點，進而求出橢圓的長軸長

謝謝樓上的兩位老師 原來我只是帶入而已 卻不知不覺做了投影 果然還是要考慮圖形

在平面 \( ABC \) 過 \( A \) 作 \( AB \) 的垂線交 \( BC \) 於 \( P \) ；
在平面 \( ABD \) 過 \( A \) 作 \( AB \) 的垂線交 \( BD \) 於 \( Q \) ；
那麼 \(\Delta BPQ \) 是正三角形。
不妨假設 \( BP=BQ=PQ=1 \) ，
那麼 \(\displaystyle AP=AQ=\sin36^o \)
\(\displaystyle \cos{\angle{PAQ}}=\frac{2\sin^2 36^o-1}{2\sin^2 36^o}=\frac{-\cos72^o}{1-\cos72^o} \)
\(\displaystyle =-\frac{\sqrt{5}-1}{5-\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}} \)

還記得大二修陳創義老師的幾何學的時候，老師要我們作模型，以及要我們報告；
我就把這五個正多面體的兩面角、內外接球半徑和邊長的比例、中心角等等的數據算出來，
雖然當時不是這樣算，而是利用趙文敏老師在他的數論淺談一書中提過的黃金矩形的性質來算，
但是覺得有所獲得，也發現一件有趣的結果。找機會考考學生好了。

不懂為什麼三角形BPQ是正三角形？

因為三角形BCD是正三角形，
所以角PBQ=60度
又BP=BQ，所以BPQ是正三角形

另解