101羅東高中

1.a,b為正整數,a+2b為41的倍數,a-2b為43的倍數,求a+b的最小值=?
2.P為拋物線y^2=2x上的一點,B.C為y軸上兩點,且三角形PBC的內切圓方程式為(x-1)^2+y^2=1,求三角形PBC的最小面積為何?

1.
a+2b=41h
a-2b=43k  h正整數k整數

相加 2a=41h+43k    (1)
相減 4b=41h-43k     (2)

(1)*(2) 8ab=1684h^2 -1849k^2 >0
          知 h^2 > k^2  （主要是縮小h、k範圍用）    (3)

由(1) 可知h,k同奇或是同偶  (4)
(2) 4b≡h-3k (mod4)             (5)

利用(3)(4)(5)開始討論h、k

h=1  k無解
h=2  k=0 不符合(5)
h=3  k=1  則a=83 b=20   a+b=103
h=4  k=0  則a=82 b=41   a+b=123
h=5  k=-1 則a=81 b=62   a+b=143
        k=3  不用考慮了吧...

h>4時  若k<0 才會使得a+b有最小值
        又4b≡h-3k (mod4)            
k最小為-h+4  （-h、-h+2皆不合)
2a=41h+43(-h+4)=172-2h            a=86-h
4b=41h-43(-h+4)=84h-172           b=21h-43          a+b=20h+43 >123  當h>4時

故a+b最小為103

[ 本帖最後由 hb13256 於 2012-6-5 12:11 AM 編輯 ]

2. 昨天有人問，順便來 po 了一下

令 \( P(2\alpha^{2},2\alpha) \), 切線 \( y=mx+2\alpha-2\alpha^{2}m \). 代入圓得

\( x^{2}-2x+1+(m^{2}x^{2}+4(\alpha-\alpha^{2}m)mx+4(\alpha-\alpha^{2}m)^{2})=1 \)

判別式為 0
\( \begin{aligned} & (m^{2}+1)x^{2}+(4\alpha m-4\alpha^{2}m^{2}-2)x+4\alpha^{2}(1-\alpha m)^{2}=0\\
\Rightarrow & (4\alpha m-4\alpha^{2}m^{2}-2)^{2}-16(m^{2}+1)\alpha^{2}(1-\alpha m)^{2}=0\\
\Rightarrow & 4(\alpha^{2}-\alpha^{4})m^{2}+(8\alpha^{3}-4\alpha)m+1-4\alpha^{2}=0\\
\Rightarrow & \Delta m=\frac{\sqrt{16\alpha^{2}(2\alpha^{2}-1)^{2}-16(\alpha^{2}-\alpha^{4})(1-4\alpha^{2})}}{4(\alpha^{2}-\alpha^{4})}=\frac{1}{1-\alpha^{2}}.\end{aligned} \)

\( x=0 \) 代入直線，得 \( \overline{BC}=\left|\frac{2\alpha^{2}}{1-\alpha^{2}}\right|\)

畫圖，知僅 \( \alpha>1 \) 時，是內切圓，此時三角形面積 \( =\frac{1}{2}\cdot(2\alpha^{2})\cdot\frac{2\alpha^{2}}{1-\alpha^{2}}=2\cdot\frac{\alpha^{4}}{\alpha^{2}-1} =2\cdot(2+\alpha^{2}-1+\frac{1}{\alpha^{2}-1})\geq8 \) by 算幾。
不過以上太暴力，應該會有其它好的方法吧