一題機率問題

甲乙丙一次投擲兩個硬幣，先得到兩個正面者獲勝
(例如甲第一次就兩個正面或是第一輪一個正，第2輪再一個正)，
就是累積兩個正面以上即遊戲結束
甲先擲 再乙 再丙 一直輪 直到分出勝負
問甲乙丙獲勝機率??


這題我想很久～如果只獲得兩正面就獲勝的問題我會

但是如果可以累積的話～我想很久還是想不到

想請教各位大師～如何解？

謝謝

在下提供一個想法
令 \( p_{ijk}\)  為在甲已 i 正，乙 j 正，丙 k 正的情況下，甲獲勝的機率。

用遞迴可解得 \( p_{1,1,1}=\frac{3}{4}+\frac{p_{1,1,1}}{64}\Rightarrow p_{1,1,1}=\frac{48}{63}\)

接著 \(p_{1,1,0}=\frac{3}{4}+\frac{p_{1,1,1}}{32}+\frac{p_{1,1,0}}{64}\Rightarrow p_{1,1,0}=\frac{1040}{1323} \)

同樣地 \( p_{1,0,1}=p_{1,1,0}=\frac{1040}{1323} \)

\(p_{0,1,1}=\frac{1}{4}+\frac{p_{1,1,1}}{32}+\frac{p_{0,1,1}}{64}\Rightarrow p_{0,1,1}=\frac{368}{1323}\)

利用八個狀態的關係，從 1,1,1 倒著解回去，上面是解兩個 1 的，

接著 1 個 1 的很醜，

\( p_{1,0,0}=\frac{3}{4}+\frac{p_{1,1,0}}{32}+\frac{p_{1,0,1}}{32}+\frac{p_{1,1,1}}{16}+\frac{p_{1,0,0}}{64}\Rightarrow p_{1,0,0}=\frac{71696}{83349} \)

算不下去了…

P(甲贏) = \(\displaystyle\frac{1}{4} + \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{4}\left(C^n_n\left(\frac{1}{4}\right)^n+C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\cdot\left(C^n_n\left(\frac{1}{4}\right)^n+C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)^2\)



P(乙贏) = \(\displaystyle\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{4} + \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{4}\left(C^n_n\left(\frac{1}{4}\right)^n+C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\cdot\left(C^n_n\left(\frac{1}{4}\right)^n+C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\cdot\left(C^{n+1}_{n+1}\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}+C^{n+1}_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\)



P(丙贏) = \(\displaystyle\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{4} + \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{4}\left(C^n_n\left(\frac{1}{4}\right)^n+C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\cdot\left(C^{n+1}_{n+1}\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}+C^{n+1}_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\left(\frac{1}{2}\right)\right)^2\)



以上這一長串並非不能算，乘開之後雖然有點眼花撩亂，但還是可以算的～

（乘開後是＂等比級數＂或＂等差×等比＂或是＂等差^2 ×等比＂或是＂等差^3 ×等比＂形式的雜級數～都是可以算的～）

眼睛很花～就讓我稍微偷懶一下，有請 wolfram alpha 幫我計算一下



P(甲贏) = \(\displaystyle\frac{301552}{583443}\)，請點 http://goo.gl/cBQ65

P(乙贏) = \(\displaystyle\frac{173444}{583443}\)，請點 http://goo.gl/mBxFs

P(丙贏) = \(\displaystyle\frac{36149}{194481}\)，請點 http://goo.gl/obil0

而且無聊還可以驗證一下~~~  \(\displaystyle\frac{301552}{583443}+\frac{173444}{583443}+\frac{36149}{194481}=1\)





然後我說明一下~

P(甲贏) = 要嘛甲在第一局就贏，或是甲在經過 n 局之後，繼續丟～以兩正面獲勝～或以一正一反面獲勝～

　　　　如果甲最後是以兩正面獲勝，則甲擲的前 n 局有可能全部都是兩反～或是～恰一次的一正一反＆n-1次兩反，

　　　　如果甲最後是以一正一反獲勝，則甲擲的前 n 局恰一次的一正一反，

　　　　當然不管甲是以何種方式獲勝，乙、丙兩人擲的前 n 局必須要「全部都是兩反～或是～恰一次的一正一反＆n-1次兩反」。

乙贏～或丙贏～請同理類推。：）

非常非常感謝!!!!!!!!!!

打開免費的 R 軟體之後，將下列指令 複製貼上 即得此機率問題實驗10000次的結果:

f=function(){
x=c();y=x;z=x
while(sum(x)<2) x=c(x,sample(0:1,2,replace=1))
while(sum(y)<2) y=c(y,sample(0:1,2,replace=1))
while(sum(z)<2) z=c(z,sample(0:1,2,replace=1))
a=length(x);b=length(y);c=length(z)
if(min(a,b,c)==a) return(1)
if(min(a,b,c)==b&b<a) return(2)
return(3)}
n=10000
zz=replicate(n,f())
a=sum(is.element(zz,1))
b=sum(is.element(zz,2))
c=n-a-b
a/n  # 甲贏的機率

b/n  # 乙贏的機率

c/n  # 丙贏的機率

結果為
\(\displaystyle  P(甲贏)=0.5187\approx \frac{301552}{583443}\)

\(\displaystyle  P(乙贏)=0.2924\approx \frac{173444}{583443}\)

\(\displaystyle  P(丙贏)=0.1889\approx \frac{36149}{194481}\)


R軟體請見  https://math.pro/db/thread-51-1-1.html  的說明 !

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-12-5 12:12 PM 編輯 ]