96新竹女中

1,2,3....12號球共12個球，分三組，依序下列三步驟取出7球
步驟一:取出每組最大球號者，共三球
步驟二:取出每組次大球號者，共三球
步驟三:取出其餘6球中，球號最大者，共一球

求7號球被取出之機率

先謝謝各位老師解答

100.9.7版主補充
更改文章標題和附上題目

答 : 24/77

首先，12個相異球分成三組有 \(\displaystyle \frac{C^{12}_4C^8_4C^4_4}{3!} \) 種

考慮 "最後 6 球中最大為7號" 的事件可知，8~12號已經被取掉，另外還有一個比7小的球也被取掉
把這事件的發生拆解成三步驟如下 :
步驟一 :  8~12共 5 球被分成 2,2,1 三組，有 \(\displaystyle \frac{C^5_2C^3_2}{2!}C^1_1 \) 種
步驟二 :  7號球選組，有\(\displaystyle C^2_1 \) 種
步驟三 :  剩下 6 球的分配，有\(\displaystyle C^6_1C^5_2C^3_3 \) 種

故所求機率=\(\displaystyle \frac{\frac{C^5_2C^3_2}{2!}C^1_1C^2_1C^6_1C^5_2C^3_3}{ \frac{C^{12}_4C^8_4C^4_4}{3!}} =\frac{24}{77}=0.31...\)



推薦一個很棒的自由軟體 : 統計R
輸入下列指令就可以叫電腦模擬上述抽球問題 10000次 ! 並算出最後抽到 7 號球的比例... (複製貼上後約10秒，即得10000次實驗結果)

n=10000;zz=rep(0,n)
for(i in 1:n){
a=sample(1:12,12)
x=sort(a[1:4],decreasing=TRUE);y=sort(a[5:8],decreasing=TRUE);z=sort(a[9:12],decreasing=TRUE)
b=c(x[-1][-1],y[-1][-1],z[-1][-1])
if(max(b)==7) zz[i]=1
}
mean(zz)

其中 n 可隨意改成 1000 次or 9999999 次，
簡介 以及 如何下載 還有快速上手的操作手冊 請參考 https://math.pro/db/thread-51-1-1.html
或是  高中數學學科中心電子報 (54期) 的連結 :
http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/eArticleDetail.aspx?id=0f09339d-0231-40cb-83f8-002e81c1c81c

任何疑難的機率問題皆可模擬  

[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-7-21 06:56 PM 編輯 [/i]]

謝謝joy091老師的解答

花了一些時間將散落的文章收集起來，方便網友查詢

1.
\( a,b,c in R \)，\( a cosx+b sinx+c=0 \)之兩根為\( \alpha,\beta \)( \( 0<\alpha,\beta<2 \pi \) )，試將\( cos(\alpha+\beta) \)以a、b、c表示？
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=24787　連結已失效

6.
一正四面體OABC，G為底面ABC之重心，M為\( \overline{OA} \)中點，\( \overline{OG} \)交平面MBC於H。
(1)試證：若\( \vec{OH}=x \vec{OM}+y \vec{OB}+z \vec{OC} \)，而\( x+y+z=1 \)。
(2)試證：\( \displaystyle \vec{OH}=\frac{1}{4}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}) \)
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23741　連結已失效

9.
\( \displaystyle 1^3 C_1^{20}+2^3 C_2^{20}+3^3 C_3^{20}+...+20^3 C_{20}^{20}= \)？
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=34999　連結已失效


h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23756　連結已失效
這個網址包含下面三題
2.
a為一常數，\( \displaystyle \frac{log 2x}{log(x+a)}=2 \)，x=？
7.
一拋物線的焦點\( F(2,2) \)，兩切線為\( x+y=0 \)，\( x-y-2=0 \)，試問拋物線方程式與切點為何？
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=24096　連結已失效
11.
橢圓\( x^2+3y^2=4 \)旋轉\( \theta \)( \( \displaystyle 0< \theta < \frac{\pi}{2} \) )後與原橢圓交於\( \displaystyle A(\sqrt{2},\sqrt{\frac{2}{3}}) \)、B、C、D四點，試求\( \theta \)。

想請問老師們～
我查到當年鋼琴老師所給的答案，但是與上面joy老師答案不同，
請問哪個才是正確答案呢？
謝謝老師們～

Joy091 老師算的是在步驟三才取出 7 號球

但題意是依三步驟取出 7 球，只要這 7 球中有 7 號球即可

謝謝鋼琴老師～
不過我在B步驟還有一點疑惑，我再想想還有不理解的地方再請教各位老師們～
謝謝老師辛苦解答～

鋼琴老師～我一直看不太懂
照片中的這句話 如果7號是那一組的第三大號碼
那比他大的數字當組應該是只有兩個吧？！
還是我解讀錯了呢？
謝謝

把寫的順序調換一下好了

7 號球在某組中的球號排第三
從球號比 7 號球大的 5 個球中選 2 個，球號比 7 號球小的 6 個球中選 1 個跟 7 號球同一組

其餘 3 個球號比 7 號球大的，也要在同一組，再從比 7 號球小的另 5 個球中選 1 個與它們同一組

最後 4 個比 7 號球小的自成一組

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-29 07:00 編輯 ]

好的好的 我看懂了 謝謝老師～