100慈大附中,臺南慈中

請教12題的解法?    我有去查那個網站   但好像已經關閉了

不好意思
我想請教一下
填充12題。
我先經過平移後舊原點變為(-1,-1)
再旋轉後舊原點變為(-根號2,0)
所以應該變成(x+根號2)^2+y^2
請問是我平移的觀念有錯嗎？還是？
先謝謝了！

你沒有錯，是我筆誤把 \(\displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2\)  打成  \(\displaystyle\left(x-\sqrt{2}\right)^2+y^2\) 了，

看後面配方還原回去就可以知道我打錯正負號了。立馬修正，感謝。

第 12 題（第七次合作杯數學有獎徵答所提供的參考解答的方法）

令 \(x+y=u, xy=v\)，則

\(x^2+xy+y^2=3x+3y+9\Rightarrow \left(x+y\right)^2-xy=3\left(x+y\right)+9\)

\(\Rightarrow u^2-v=3u+9\Rightarrow v=u^2-3u-9\)

所求＝\(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=u^2-2v=u^2-2\left(u^2-3u-9\right)\)

　　　　　　　 \(=-u^2+6u+18=-\left(u-3\right)^2+27\)

因為 \(x,y\) 為方程式 \(t^2-ut+v=0\) 的實根

所以判別式 \(D=u^2-4v\geq0\)

再將 \(v=u^2-3u-9\) 帶入上式，

可得 \(u^2-4\left(u^2-3u-9\right)\geq0\Rightarrow u^2-4u-12\leq0\)

\(\Rightarrow \left(u+2\right)\left(u-6\right)\leq0\Rightarrow -2\leq u\leq6\)

由 所求 \(x^2+y^2=-\left(u-3\right)^2+27\) 搭配 \(u\) 的範圍 \(-2\leq u\leq6\)

（畫出頂點在 \((3,27)\) 且開口向下拋物線的圖形）

可得當 \(u=3\) 的時候，\(x^2+y^2\) 有最大值為 \(27\)；

　　當 \(u=-2\) 的時候，\(x^2+y^2\) 有最小值為 \(2\)。

填充7
考慮一個正四面體與其內切球與外接球。今在正四面體之四個面，均有一個最大球與其相切也和外接球相切(此球在正四面體外部)。若在外接球的內部任取一個點\(P\)，則\(P\)不落在內切球內部也不落在正四面體外圍的四個球內之機率為何？
[解答]
（幫朋友解完順便ＰＯ上來～）

111.1.15補充
已知一正四面體有一個外接球與一個內切球，今知在四面體中之四個面，均有一個最大的球(在正四面體外)與其相切且與外接球也相切，若在外接球內任選一點\(P\)，則\(P\)落在內切球或正四面體外圍的四個球內之機率的近似值為　　　　。
(A) 0　(B) 0.1　(C) 0.2　(D) 0.3　(E) 0.4
(1999ASHME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_29)

請教填充第5題，感謝。

第5題
\(x\)分別用1和\(\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)代進去做做看

感謝!!