97嘉義高中

上次非常謝謝老師和各位的解答
另外我想請教各位老師
第14 15 17題
謝謝

第 14 題：

\(\displaystyle v_p\left(n!\right)=\sum_{r=1}^\infty\left[\frac{n}{p^r}\right]=\left[\frac{n}{p}\right]+\left[\frac{n}{p^2}\right]+\left[\frac{n}{p^3}\right]+\cdots\)

　　\(\displaystyle = \left(a_1+a_2p+\cdots+a_kp^{k-1}\right)+\left(a_2+a_3p+\cdots+a_kp^{k-2}\right)+\cdots+\left(a_k\right)\)

　　\(\displaystyle =a_1+a_2\left(1+p\right)+a_3\left(1+p+p^2\right)+\cdots+a_k\left(1+p+p^2+\cdots+p^{k-1}\right)\)

　　\(\displaystyle = a_1\cdot\frac{p-1}{p-1}+a_2\cdot\frac{p^2-1}{p-1}+\cdots+a_k\cdot\frac{p^k-1}{p-1}\)

　　\(\displaystyle = \frac{\left(a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots+a_kp^k\right)-\left(a_0+a_1+\cdots+a_k\right)}{p-1}\)

　　\(\displaystyle = \frac{n-\left(a_0+a_1+\cdots+a_k\right)}{p-1}.\)

第 15 題：（畢業已久，離古典代數學有點遠，如果寫法不對還請多多包含並不吝提醒，感激。^^）
(a)
\(\displaystyle \left(ax+b+M\right)\left(cx+d+M\right)\equiv \left(ax+b\right)\left(cx+d\right)+M\)

　　\(\displaystyle\equiv acx^2+\left(ad+bc\right)x+bd+M\)

　　\(\displaystyle\equiv \left(ad+bc\right)x+\left(bd-ac\right)+M\)

(b)

由 (a)，先解 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}ad+dc=1\\bd-ac=1\end{array}\right.\)，可得 \(\displaystyle c=\frac{-a+b}{a^2+b^2},\,d=\frac{a+b}{a^2+b^2}\)，

故，\(ax+b\) 的乘法反元素為 \(\displaystyle \frac{-a+b}{a^2+b^2}x+\frac{a+b}{a^2+b^2}.\)

第 17 題：
找一本複變的書，然後翻到最後面的 index ，然後查 "Cauchy-Riemann equations" 。

或是直接 google: cauchy riemann equation proof

因為我手邊剛好沒有帶複變的書，找了一本 Cracking the GRE Math Subject Test, 3rd. ed.

裡面也有寫證明，如附件。