本題應只有一解
設函數\(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\)，滿足下列三個條件：
(1) \(f\)為嚴格遞增函數；
(2) 對於所有\(m, n \in \mathbb{N}\)，\(f(mn) = f(m)f(n)\)；
(3) 若\(m \neq n\)並且\(m^n = n^m\)，則\(f(m) = n\)或\(f(n) = m\)。
試求\(f(6)=\)
。
答：36。
解：由\(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\)和 (1)\(\Rightarrow f(n) \ge n, \forall n \in \mathbb{N}\)。
\(2^4 = 4^2 = 16\)，由 (3)\(\Rightarrow f(2) = 4\)或\(f(4)=2\)(不合)\(\Rightarrow f(2)=4\)。
由 (2)\(\Rightarrow f(m^p)=f(m)^p, \forall m, p \in \mathbb{N}\)。
考慮\(p, q, m \in \mathbb{N}\)，\(\displaystyle m^p < 2^q \Leftrightarrow m < 2^{\frac{q}{p}} \frac{q}{p} < \log_2 m\)。
若\(m^p<2^q \Rightarrow f(m)^p = f(m^p)<f(2^q) = f(2)^q \Rightarrow f(m) < f(2)^{\frac{q}{p}}\)。
又\(\mathbb{Q}\) is dense in \(\mathbb{R} \Rightarrow \exists p_n, q_n \in \mathbb{N}\)，使得\(\frac{q_n}{p_n} \nearrow \log_2 m \Rightarrow f(m) \le f(2)^{\log_2 m}\)。
同理可得\(f(m) \ge f(2)^{\log_2 m}\)，因此\(f(m) = f(2)^{\log_2 m}\)，又\(f(2) = 4 \Rightarrow f(m) = 4^{\log_2 m} = (2^2)^{\log_2 m} = 2^{2 \log_2 m} = 2^{\log_2 m^2} = m^2\)。
因此\(f(6) = 36\)。
