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103家齊女中

johncai

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1^# 大中小發表於 2014-4-20 19:34 只看該作者

103家齊女中

附上官方公佈試題

就記憶中的題目寫一下。這次全部計算題。不過看前兩年。應該會公佈題目吧
基本上我覺得根本完全寫不完阿@@
有些題目根本連看都沒時間看

第一題：x^512+x^256+1=(x^2+x+1)P(x)
求P(x)中有幾項係數不為零

第二題：某個三次方程式（係數有給）的三個根為α,β,γ。求α^4+β^4+γ^4
相關問題及解答請見https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

第三題：某絕對值方程式圍成區域周長

第四題：以AB為直徑之半圓，圓心O，延長AB後在其上取一定點C
動點D為半圓上之點，以CD為正三角形之一邊往上畫一個正三角形CDE
求D點跑到哪時，會讓OE 最長還是最短（忘了）
題目出處，93筆試二，臺灣師大大學部申請入學，h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14　連結已失效

第一面後面題目沒時間看@

第二面其中一題證明映射矩陣，
其中一題證明(1+1/n)^n收斂，
其中一題三階矩陣對角化
第二面後面也還有兩題沒時間想@

附件

103家齊女中(官方版).pdf (129.02 KB): 2014-4-22 18:17, 下載次數: 21202

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thepiano

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2^# 大中小發表於 2014-4-20 20:46 只看該作者

第 1 題
341

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thepiano

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3^# 大中小發表於 2014-4-20 21:29 只看該作者

第 7 題
正n邊形內部一點......
2010法國高等學院預備班考題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1229

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wen0623

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4^# 大中小發表於 2014-4-20 21:31 只看該作者

回復 3# thepiano 的帖子

補充一:p(x)=(a_{510}*x^{510}+a_{509}*x^{509}+a_{508}*x^{508}+...+a_1*x+a_0)
利用比較係數得：a_{510}＝ｌ，a_{256}＋a_{255}+a_{254}＝１，a_0＝1。
a_{510}，a_{509} ,a_{508}... a_{258}，a_{257} ,a_{256}
1,—ｌ，０；１，—１，０；…；１，—１，０共８５組a_{255}，a_{254} ,a_{253}... a_3，a_2,a_1
1，0，—１；１，０，—１；…；１，０，—1共８５組
a_0＝1
因此８５＊２＊２＋ｌ＝３４１個

補上—題：正三角形ＡＢＣ邊長為ａ；Ｐ，Ｑ分别為線段ＡＢ及線段ＡＣ上的點，且ＰＱ平分周長，求線段ＰＱ最小值？（謝謝大家幫忙修正，題目果然沒記完全～）

[ 本帖最後由 wen0623 於 2014-4-20 11:17 PM 編輯 ]

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thepiano

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5^# 大中小發表於 2014-4-20 21:52 只看該作者

引用:

原帖由 wen0623 於 2014-4-20 09:31 PM 發表
正三角形ＡＢＣ邊長為ａ；Ｐ，Ｑ分别為線段ＡＢ及線段ＡＣ上的點，且ＰＱ平分周長，求線段ＰＱ？

PQ 不是定值

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johncai

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6^# 大中小發表於 2014-4-20 21:54 只看該作者

回復 4# shiauy 的帖子

映射矩陣這題。我記得題目沒有說直線過原點
只說有向角為θ/2。因為我一直在找這個條件
可是找不到。題目如果沒有說過原點。是不是有問題
雖然我最後也還是以過原點的直線去證明

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nicolesukg

小滷

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7^# 大中小發表於 2014-4-20 22:24 只看該作者

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-20 09:52 PM 發表

PQ 不是定值

嗯，這題題目問的是PQ的最小值為何...

莫忘初衷。就算再難，也想任性地堅持下去，證明自己。

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Pacers31

白

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8^# 大中小發表於 2014-4-20 22:39 只看該作者

回復 5# wen0623 的帖子

設 \(\overline{AP}=x\), \(\overline{AQ}=y\)

依題意即在 \(\displaystyle x+y=\frac{3a}{2}\) 限制下，求 \(\overline{PQ}=\sqrt{x^2+y^2-xy}\) 之最小值

由算幾不等式 \(\displaystyle \frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}\) 可得 \(\displaystyle xy\leq \frac{9a^2}{16}\)

故 \(\displaystyle \sqrt{x^2+y^2-xy}=\sqrt{\frac{9a^2}{4}-3xy}\geq \sqrt{\frac{9a^2}{16}}=\frac{3a}{4}\)

等號成立時機：\(\displaystyle x=y=\frac{3a}{4}\)

得 \(\displaystyle \min \overline{PQ}=\frac{3a}{4}\)

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broken

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9^# 大中小發表於 2014-4-21 19:01 只看該作者

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jeanvictor

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10^# 大中小發表於 2014-4-21 19:44 只看該作者

回復 11# broken 的帖子

題目應該是沒錯的

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