103北一女中

計算 5. 算出來是曲線 x+y=1  和坐標軸圍成的區域

印象中這個曲線好像是"拋物線"~

所以是拋物線嗎?@
請問如何證明是這個曲線呢?
謝謝

填充1
利用平行四邊形定理，四邊為1，其中一條對角線長10/13
得到另一對角線長後，再用海龍公式算面積

填充2
分別對x、y偏微分，得極值發生在x=-y or x=±1
但x=-y不合，當x=±1, y=0代入

填充3
令極坐標P(r,θ)
A(10°)B(20°)A(30°)B(40°)A(50°)B(60°)A(70°)B(80°)A(90°)(r,θ)
=A(10°)B(20°)A(30°)B(40°)A(50°)B(60°)A(70°)B(80°)(r,90°+θ)
=A(10°)B(20°)A(30°)B(40°)A(50°)B(60°)A(70°)(r,-10°-θ)
=A(10°)B(20°)A(30°)B(40°)A(50°)B(60°)(r,60°-θ)
=A(10°)B(20°)A(30°)B(40°)A(50°)(r,θ)
=---
=A(10°)(r,θ)

填充4

第一場可能甲贏或甲輸
令P1表示甲已贏一場，獲勝的機率、P0表示甲還沒贏一場，獲勝的機率
討論若甲獲勝每局輸的人
1.甲先贏
則輸的人依序是
乙)丙        ，則甲勝
乙)甲丙乙  又回到P1的情形，故P1=(1/2)+(1/8)P1，得P1=8/14
                          
2.甲輸第一局
則輸的人依序
甲)乙丙      ，又回到P1的情形，P0=(1/4)P1=2/14

P=(1/2)(P0+P1)
故所求為5/14

計算一


[ 本帖最後由 shiauy 於 2014-4-18 08:01 PM 編輯 ]

鋼琴兄應該是不小心記錯了，星形線是長度固定為 1 的時候

這題是截距和為 1，圖形如下

填充2我是這麼想，可能不嚴謹

看到平方和求最小值，可用高一上所學過的平均觀念去想，剛好可配合算幾不等式

令A(x,1/x)，B(-y,y)
則A為雙曲線xy=1上的動點，B為直線y=-x上的動點
原題目變成求AB距離平方的最小值

作圖易知當A(1,1)，B(0,0)時，所求有最小值=2

感謝寸絲兄的指正，是小弟愚鈍，誤解題意！

是拋物線沒錯，Ellipse 兄太厲害了

我是用了微分找固定 x，軌跡中 y 的最大值，一言以蔽之就是暴力找出邊界曲線的函數

令 y=(1−t)(1−tx)，則 dtdy=t2x−t2

判別零點和正負，可知在 0t1, 固定 x 滿足 0x1 的條件下，t=x ，y 有最大值 (1−x)2 

計算積分 011−x)2dx=61 

填充2.
設xyR，x=0，則函數f(xy)=(x+y)2+(x1−y)2的最小值是　　。
[解答]
f(xy)=x2+2xy+y2+1x2−x2y+y2=(x−x1)2+2−2y(x−x1)+y2+y2=(x−x1−y)2+y2+2
當x=1y=0時有最小值2


103.4.21補充
感謝Superconan指正，這是計算3
計算3.
(1)如下圖，AE=4，AD=2，AB=3，AE中有一點Q使AQ:QE=3:1，且P為CG中點，問平面BPQ在此長方體的截痕為幾邊形？
(2)同上題，以兩種方法解說給學生聽。
(3)求平面BPQ把此長方體截成兩半後，較小那塊之體積。

[解答]
(1)五邊形
(2)除了坐標化的方法外也可以將長方體展開，BP交GH於I，BQ交HE於J，故BPIJQ為五邊形
(3)
感謝linteacher提供想法http://www.shiner.idv.tw/teacher ... t=3269&start=20
較大塊體積=最大的四面體-3個小四面體=61(53−13−23−33)=689
較小塊體積=長方體-較大塊體積=234−689=655




103.75補充
計算4.
　□□□□□□□□□□ 十個格子塗紅、黃、綠三色，相鄰不同色
　(1) 若第1格和第10格不同色，方法數為何？
　(2) 若第1、5、10都不同色，方法數為何？

以下的題目取自凡異出版社出版的"遞歸數列"一書中第149頁練習五
6.
考慮一個1n格棋盤，假定我們對棋盤的每個方格用紅、藍兩種顏色著色，相鄰兩格不能著紅色。令an表示沒有任何兩個相鄰的方格著紅色的著色個數。試建立 a_n 所滿足的遞歸方程，並求出 a_n 的表達式。
[解答]
若第一格著的是藍色，那麼餘下的 (n-1) 格符合題意的著色方法有 a_{n-1} 種，若第一格著的是紅色，那麼第二格只能著藍色，餘下的 (n-2) 格符合題意的著色方法有 a_{n-2} 個，所以 a_n=a_{n-1}+a_{n-2} 。

7.
考慮一個 1 \times n 格棋盤，使用m種顏色的全部或其中幾種顏色將這棋盤著色，並且：一、相鄰兩格顏色要不同；二、相鄰兩格及兩端的兩格也要著成不同的顏色。並設一、二的著色方法數分別為 a_n 與 b_n ， m \ge 3 。那麼：
(1)求 b_2 ，並用m、n表示 a_n ；
(2)當 n \ge 3 時，求 b_n ， b_{n-1} 與 a_n 之間的關係；
(3)用m,n表示 b_n 。
[解答]
(1)
第一格著色有m種方法，則第二格有 m-1 種方法，所以兩端兩格的著色方法有 b_2=m(m-1) 種。
a_n =(m-1)a_{n-1} ， a_1=m ， a_n=m(m-1)^{n-1} 。
(2)
對於(1)中的 a_n ，它的兩端有兩種可能性：第一種是兩端不同的顏色，所以應有 b_n 種方法；第二種是兩端著相同的顏色，那麼它相當於 (n-1) 格的兩端著不同的顏色的情況，即有 b_{n-1} 種方法，所以 a_n=b_n+b_{n-1} 。
(3)
b_n+b_{n-1}=m(m-1)^{n-1}
使用待定係數法設 b_n-km(m-1)^n=(-1) \cdot [b_{n-1}-km(m-1)^{n-1}]

移項得 b_n+b_{n-1}=km(m-1)^n+km(m-1)^{n-1}

和原式比較係數得 m(m-1)^{n-1}=km(m-1)^n+km(m-1)^{n-1} ，得 \displaystyle k=\frac{1}{m}

b_n-(m-1)^n=(-1)^1[b_{n-1}-(m-1)^{n-1}]=(-1)^2[b_{n-2}-(m-1)^{n-2}]=\ldots=(-1)^{n-2}[b_2-(m-1)^2]

將 b_2=m(m-1) 代入

b_n-(m-1)^n=(-1)^{n-2}[m(m-1)-(m-1)^2]=(m-1)(-1)^{n-2}

b_n=(m-1)(-1)^{n-2}+(m-1)^n

將 (-1)^{n-2} 改成 (-1)^n 和 (m-1)^n 次方一致

得 b_n=(m-1)(-1)^n+(m-1)^n


計算5.
有一線段交x軸於 (t,0) ，交y軸於 (0,1-t) ， 0 \le t \le 1 ，求此線段形成的圖形與x、y軸圍成區域的面積。
[解答]
http://140.122.140.2/~cyc/m1117.doc
我是參考陳創義老師在第一頁的結論

包絡線 \alpha(\lambda)=(x(\lambda),y(\lambda)) 滿足
\displaystyle \Bigg\{\; \matrix{F(x(\lambda),y(\lambda),\lambda)=0 \cr F_{\lambda}(x(\lambda),y(\lambda),\lambda)=0}

\overline{AB} 的直線方程式為 \displaystyle y=\frac{t-1}{t}x+1-t ，令 \displaystyle F=x-\frac{x}{t}-y+1-t=0
F函數對t微分， \displaystyle F_t=\frac{x}{t^2}-1=0 　，　 t=\pm \sqrt{x} (負不合)
t=\sqrt{x} 代入F函數
x-\frac{x}{\sqrt{x}}-y+1-\sqrt{x}=0 　，　 (\sqrt{x}-1)^2=(\pm \sqrt{y})^2 　，　取第一象限的 \sqrt{x}+\sqrt{y}=1

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-7-5 10:20 AM 編輯 ]