請教一題空間題目

空間中△ABC的三頂點\( A(1,-1,1) \)、\( B(-3,2,1) \)、\( C(5,-4,3) \)，P為△ABC內部一點，P到\( \overline{AB} \)、\( \overline{BC} \)、\( \overline{CA} \)距離分別為x,y,z，則\( x^2+y^2+z^2 \)的最小值？

謝謝回答!  請問這樣是否是在求到三頂點距離平方和的最小值?

先算重心G
然後AG^2+BG^2+CG^2就可以算出


不好意思,沒注意看題目所求
我這方法是算PA^2+PB^2+PC^2的最小值~~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-2 09:02 PM 編輯 ]

\(AB = 5, BC = \sqrt{104}, AC = \sqrt{29}\)

\(\triangle ABC\) 面積 ＝ \(10\)

利用 \(\triangle ABC\) 面積 = \(\triangle PAB\) 面積 + \(\triangle PBC\) 面積 +\(\triangle PCA\) 面積

可得 \(\displaystyle 10 = \frac{5x}{2} + \frac{\sqrt{104} y}{2} + \frac{29z}{2}\)

\(\displaystyle 5x+\sqrt{104} y + 29z = 20\)

由柯西不等式，可得 \(\displaystyle \left(x^2+y^2+z^2\right)\left(5^2+\left(\sqrt{104}\right)^2+29^2\right)\geq\left(5x+\sqrt{104} y + 29z\right)^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq\frac{200}{79}\)