回復 9# weiye 的帖子
以下有一些小錯誤，把這個想法實現的證明在 #13 處
(1) \cos(x+2\pi)=\cos x ，可將已知條件改為 \sum\limits _{i=1}^{n}a_{i}=2k\pi , for some k\in\mathbb{Z} 。
(這個其實可以不用做，只是為了(2)說明方便)
(2) \cos x+\cos y=2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) ，可取 y 的同界角，使得 \cos(\frac{x+y}{2})<0 。
則有 \cos(x+y)\geq2\cos(\frac{x+y}{2})\cdot1=\cos(\frac{x+y}{2})+\cos(\frac{x+y}{2}) 。
由 (1)(2) 知，若有最小值，必發生在 a_{i}=a_j =\frac{2k\pi}{n}, \forall i,j 這類的點上。
(3) S=\{(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\mid\sum a_{i}=2k\pi,k\in\mathbb{Z}\} 為 \mathbb{R}^{n} 中的緊緻集， f(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})=\sum\limits _{i=1}^{n}\cos(a_{i}) 為 \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R} 的連續函數。由連續函數最大最小值定理知 f 在 S 上必有最大最小值。
綜合以上，選取 k 接近 \frac{n}{2}，使得 \cos(\frac{2k\pi}{n}) 最接近 -1，可達最小值。
即當 n=2k+1 時，取 a_{i}=\frac{2k\pi}{2k+1}，可得最小值 n\cos(\frac{2k\pi}{2k+1})。
(感謝 Ellipse 提醒 修正負號)
偶數 n=2k ，weiye 老師已給出相同結果 a_i = \pi ，最小值 -n
[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-9-30 11:24 PM 編輯 ]
