102竹東高中

證明2.
請分別利用數學歸納法(9%)與算幾不等式(5%)
證明：設\(n\)為大於1的正整數，不等式\(2^n>1+n \sqrt{2^{n-1}}\)
[解答]
算幾不等式
注意 \( 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n-1}=2^{n}-1 \), \( n\in\mathbb{N} \)。

由算幾不等式有 \( \frac{2^{n}+1}{n}=\frac{1+2+\ldots+2^{n-1}}{n}\geq\sqrt[n]{1\cdot2\cdot2^{2}\cdots2^{n-1}}=2^{\frac{(n-1)n}{2n}}=\sqrt{2^{n-1}}\Rightarrow2^{n}\geq1+n\sqrt{2^{n-1}} \)。

數學歸納法
若 \( n=2 \), 檢查 \(2^{2}=4, 1+2\sqrt{2}\approx3.8, 4>3.8 \)，故命題於 \( n=2 \) 時成立。

若 \( n=3 \), 檢查 \( 2^{3}=8, 1+3\sqrt{2^{2}}=7, 8>7 \)，故命題於 \( n=3 \) 時亦成立。

設 \( n=k \) (\( k\geq3 \)) 時成立，即 \( 2^{k}\geq1+k\sqrt{2^{k-1}} \)。

而 \( 2^{k+1}=2\cdot2^{k}\geq2+2k\sqrt{2^{k-1}}\geq1+\sqrt{2}k\sqrt{2^{k}}\geq1+(k+1)\sqrt{2^{k}} \)，因此 \( n=k+1 \) 時亦成立。

由數學歸納法得證。

請教填充3
想不出來,
請不吝指教
謝謝

填充3.
在銳角\( \Delta ABC \)中，\( \overline{AD} \)垂直\(\overline{BC}\)於\(D\)，\(\overline{CE}\)垂直\(\overline{AB}\)於\(E\)。以\(\overline{DE}\)為直徑畫圓，此圓與\(\overline{AB}\)交於另一點\(Q\)。若\(\overline{AC}=25\)，\(\overline{AE}=7\)，\(\overline{CD}=15\)，則\(\overline{BQ}=\)　　　。
[解答]
由垂直和畢氏定理可得 \( \overline{AD}=20 \), \( \overline{EC}=24 \)。

注意 \( \angle ADC=\angle AEC=90^{\circ} \Rightarrow AEDC \) 共圓 (以 \( \overline{AC} \) 為直徑的圓)。

由托勒密定理得 \( 20\cdot24=25\cdot\overline{ED}+7\cdot15  \Rightarrow\overline{ED}=15=\overline{CD} \)，由此知 \( D \) 為直角 \( \triangle EBC \)  之斜邊 \( \overline{BC} \) 之中點且 \( \overline{DB}=\overline{DE}=\overline{DC}=15 \)。

而 \( Q \) 即為 \( D \) 對 \( \overline{BE} \) 作垂線之垂足 (半圓圓周角直角) (亦為 \( \overline{BE} \) 中點)，故 \( \overline{BQ}=\frac{1}{2}\overline{BD}=\frac{1}{2}\sqrt{30^{2}-24^{2}}=9 \)。

謝謝tsusy老師
感激

證明1.
證明：對於所有正整數\(n\)，\( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} (4-\frac{2}{k}) \)都是正整數。
[解答]
我只想到直接暴力乘開!! 也許有其他方法..
\( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{4k-2}{k}=\frac{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 14 \ldots (4n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n}=2^n \times \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots (2n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n}\times \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots (2n)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots (2n)} \)

\( \displaystyle =2^n \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots (2n)}{2^n (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n)^2}=\frac{(2n)!}{n! \cdot n!}=C_n^{2n} \)

再請教是非第一題, 謝謝

我是從資深老師口中得知：教師手冊有反例 @@ (參閱龍騰版教師手冊P.58)

是非 1.
\(a>1\)時，\(y=a^x\)與\(y=log_a x\)的圖形對稱於直線\(y=x\)並且不會相交。
[解答]
反例不難湊，要有交點的話，圖形一定要穿過對稱軸 \( y = x \) (不然分隔兩邊就沒交點)

而圖形對稱，所以指數函數圖形和對數函數圖形會和 \( y = x \) 相交於同一點。

這個點的坐標設為 \( (x,x) \)，則 \( a^x = x \Rightarrow a = x^{\frac1x} \)。

隨意選個 \( x =2 \), \( a = \sqrt{2} \)，兩圖形就會交於 \( (2,2) \) 就是一組反例。