102全國聯招

你這樣想...
\( \alpha^{1006}+ \beta^{1006} = X,
then [\alpha^{1006}]=[ X-0.多] = X-1 \)

單選題第 2 題：
高斯符號\([x]\)，表示不大於\(x\)的最大整數值。試求\(\left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2012} \right]\)的個位數字(A)6　(B)7　(C)8　(D)9
[解答]
因為 \(\left(\sqrt{3}\pm\sqrt{2}\right)^4=49\pm20\sqrt{6}\)

所以 \(\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2012}+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2012}\)

　　　\(=\left(49+20\sqrt{6}\right)^{503}+\left(49-20\sqrt{6}\right)^{503}\)

　　　　（將上式以二項式定理展開後合併，偶數項都會對消掉，奇數項～除第一項以外～都是 \(10\) 的倍數）

　　　\(\equiv 2\cdot 49^{503}\pmod{10}\)

　　　\(\equiv2\cdot\left(-1\right)^{503}\pmod{10}\)

　　　\(\equiv-2\pmod{10}\)

　　　\(\equiv8\pmod{10}\)

且因為 \(0<\sqrt{3}-\sqrt{2}<1\) ，所以 \(0<\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2012}<1\)

\(\Rightarrow \left[\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2012}\right]\equiv 7 \pmod{10}.\)

想請問一下多選第12題的選項(B)、(D)

27^100 / 5^200=a_n a_n-1 ...... a_1.b_1 b_2 ......b_m，∀a_i b_j 均為阿拉伯數字，其中a_1與b_1中間的.為小數點，意即小數點左邊為整數部分，小數點右邊為小數部分，又a_n ≠ 0，b_n ≠ 0，則下列選項何者正確？
(A)n = 3 (B) m = 200 (C) a_n = 2 (D) b_n = 6 。

選項(A) n 應該等於 4　對吧？

選項 (B)、(D)，前面第 2 頁已有
選項 (A) n = 4 沒錯

我找到了　也懂了
真的非常謝謝thepiano！！！

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單選題1.8.5.11
複選11
填充題2.6.7.
計算題4.
單選3.略解
牛頓差值法失敗因為出現二個0
用拉氏差值法求出方程式在2014代入
==這三分很難賺
複選9.
(A)F,期望值26
(B)T,如同抽獎順序不影響中獎機率
(C)F,期望值23
(D)T,(3/4*1/3*1/2)/1-1/4*1/3*1/2=3/23

請教一下最後二行想很久
複選第10題

單選 3.
\(f(x)\)為三次多項式且\(f(2010)=1,f(2011)=9,f(2012)=9,f(2013)=9\)求\(f(2014)=\)？
(A)17　(B)18　(C)19　(D)20
[解答]
何不用中學生一點的方法，除法原理、餘式定理那樣的手法

令 \( f(x) = a(x-2011)(x-2012)(x-2013)+9 \)

由 \( f(2010) = 1 \) 得 \( a = \frac43 \)，故 \( f(2014) = 8 + 9 =17 \)

其實不需要解 \( a \)，因此 2010 和 2014 代入分別是 \( \pm 6a \)

而拉氏的插值多項式，也是無須整理多項式，只接以其型帶入即可

\(\displaystyle f(x)=1\cdot\frac{(x-2011)(x-2012)(x-2013)}{(2010-2011)(2010-2012)(2010-2013)}+9\cdot\frac{(x-2010)(x-2012)(x-2013)}{(2011-2010)(2011-2012)(2011-2013)} +9\cdot\frac{(x-2010)(x-2011)(x-2013)}{(2012-2010)(2012-2011)(2012-2013)}+9\cdot\frac{(x-2010)(x-2011)(x-2012)}{(2013-2010)(2013-2011)(2013-2012)}\)

則 \(\displaystyle f(2014) = 1\cdot\frac{6}{(-6)}+9\cdot\frac{8}{2}+9\cdot\frac{12}{(-2)}+9\cdot\frac{24}{6}=-1+36-54+36=17 \)

再來個另解三次差分為常數如下：左邊(黑)是由上而下的差分，右邊紅字，則是反向操作，由下而上逆推

1	9	9	9	17
8	0	0	8↗
-8	0	8↗
8→	8↗

牛頓插值法基本上，和這個三次差分是一樣的吧？會失效嗎？

想像一下，7.8+0.2=8
所以把後面小於1的數拿掉應該等於7.8
加上高斯後就=7囉！

小於1的數會越乘越小。

被教甄考試訓練出來都往偏門走==
計算錯誤無解