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計算 1.
\(A(1,3,6)\)，\(B(5,6,6)\)，且\(S=\{\; P|\; \Delta PAB之面積大於10且周長小於15 \}\;\)，求\(S\)的體積為多少？
[解答]
首先注意到 \( \overline{AB}=5 \)，因此兩限制條件可轉換成
\( P \) 到 \( \overline{AB} \) 的距離大於 4，以及 \( P \) 在某橢球內，其該該橢球為一轉旋體，以 \( \overline{AB} \) 為轉軸，將某個以 \( A, B \) 為焦點，長軸為 10 的橢圓旋轉一圈。
我們可以平移及轉動這個圖形，其體積保持不變，故可重新假設 \( A(-\frac52,0,0), B(\frac52,0,0), P(x,y,z) \)
則兩限制條件可轉為 \( y^2+z^2 \geq 16 \) 及 \( \frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{\frac{25}{4}\cdot3}\leq1 \)
令 \( R = \{(x,y,z)\mid\sqrt{y^{2}+z^{2}}\geq4,\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{\frac{25}{4}\cdot3}\leq1\} \)，及同時滿足兩條件的共同區域。
所求體積 \(V = \int_R 1 dzdydx \)，將 \( y, z \) 用極坐標代愌之，可得
\( V = \displaystyle \int_{-\sqrt{\frac{11}{3}}}^{\sqrt{\frac{11}{3}}}\int_{4}^{s}\int_{0}^{2\pi}rd\theta drdx \)，其中 \( s=\sqrt{\frac{75-3x^{2}}{4}} \)。
積分可得 \( V = \displaystyle 2\pi\int_{0}^{\sqrt{\frac{11}{3}}}r^{2}\Big|_{4}^{s}dx=2\pi\int_{0}^{\sqrt{\frac{11}{3}}}\frac{11-3x^{2}}{4}dx=2\pi(\frac{11}{4}\sqrt{\frac{11}{3}}-\frac{11}{12}\sqrt{\frac{11}{3}})=\frac{11}{3}\sqrt{\frac{11}{3}}\pi \)
[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-28 06:53 PM 編輯 ]
