回復 18# tunmu 的帖子
第8題.
a_{n}-[a_{n}]=\begin{cases}
\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
\frac{2}{3} & \mbox{, n is even}
\end{cases} ，由此可得 a_{n+1}=\begin{cases}
a_{n}+\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
a_{n}+\frac{2}{3} & \mbox{, n is even}
\end{cases} \Rightarrow a_{n+2}+a_{n+1}=a_{n+1}+a_{n}+1 ( 1=\frac{1}{3}+\frac{2}{3} )。
又 a_{1}+a_{2}=1 ，故得 a_{n}+a_{n+1}=n 。
第 9 題，這樣的級數看起來像黎曼和，稍微試一下
\displaystyle \frac{4k}{\sqrt{n^{4}+4k^{2}n^{2}}}=\frac{2}{n}\cdot\frac{\frac{2k}{n}}{\sqrt{1+\left(\frac{2k}{n}\right)^{2}}} ，故 \displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{4k}{\sqrt{n^{4}+4k^{2}n^{2}}}=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{2} {n}\cdot\frac{\frac{2k}{n}}{\sqrt{1+\left(\frac{2k}{n}\right)^{2}}}
其為 \int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx 之黎曼和，故其極限為 \int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=\sqrt{1+x^{2}}\Big|_{0}^{2} = \sqrt{5}-1 。
