102 武陵高中

對，是個筆誤，謝謝！

請問文章中至少有一不為零如何得知?

可以配合前面寸絲老師寫的

最後會得到(△x,△y,△z)=r*(n1外積n2)  不等於0向量

所以△x,△y,△z 至少一個不為零

[ 本帖最後由 simon112266 於 2013-5-13 03:14 PM 編輯 ]

請問老師，第10題要怎麼做呢?

第 10 題：

令 \(P(1+2t,0+t,3-2t)\)

\(\overline{PA}+\overline{PB}\)

　　\(=\sqrt{\left(2t+2\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(2t+8\right)^2}+\sqrt{\left(2t-22\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(2t-13\right)^2}\)

　　\(=3\left(\sqrt{\left(t+2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-8\right)^2+3^2}\right)\)

題目轉換成：在直角坐標平面上， \(Q(t,0)\) 位於 \(x\) 軸，\(M(-2,2), N(8,-3)\)，求 \(3\left(\overline{MQ}+\overline{QN}\right)\) 之最小值？

　　（　因為　\(\sqrt{\left(t+2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-8\right)^2+3^2}=\overline{MQ}+\overline{QN}\)　）

　　易知 \(\overline{MQ}+\overline{QN}\) 之最小值為 \(\overline{MN}=5\sqrt{5}\)，

　　\(\Rightarrow 3\left(\overline{MQ}+\overline{QN}\right)\) 之最小值為 \(15\sqrt{5}\)

　　此時 \(M,Q,N\) 三點共線，可解得 \(t\) 值，帶回 \(P\) 可得點坐標。

謝謝老師。
我的作法前面和老師一樣,  只是到後面我寫成

請問老師這樣寫可以嗎?

可以呀~ ：Ｄ

請教第8題中，怎麼證明出a_{n} + a_{n+1} = n；另外，第9題(2)是收斂嗎？

第8題.

\( a_{n}-[a_{n}]=\begin{cases}
\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
\frac{2}{3} & \mbox{, n is even}
\end{cases} \)，由此可得 \( a_{n+1}=\begin{cases}
a_{n}+\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
a_{n}+\frac{2}{3} & \mbox{, n is even}
\end{cases}  \Rightarrow a_{n+2}+a_{n+1}=a_{n+1}+a_{n}+1 \) (\( 1=\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \))。

又 \( a_{1}+a_{2}=1 \)，故得 \( a_{n}+a_{n+1}=n \)。

第 9 題，這樣的級數看起來像黎曼和，稍微試一下

\(\displaystyle \frac{4k}{\sqrt{n^{4}+4k^{2}n^{2}}}=\frac{2}{n}\cdot\frac{\frac{2k}{n}}{\sqrt{1+\left(\frac{2k}{n}\right)^{2}}} \)，故 \(\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{4k}{\sqrt{n^{4}+4k^{2}n^{2}}}=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{2} {n}\cdot\frac{\frac{2k}{n}}{\sqrt{1+\left(\frac{2k}{n}\right)^{2}}} \)

其為 \( \int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx \) 之黎曼和，故其極限為 \( \int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=\sqrt{1+x^{2}}\Big|_{0}^{2} = \sqrt{5}-1 \)。

請問第3題...