102建國中學

老師好，第一題想了很久，也試圖用插值多項式處理
但是找無規律，不知道怎麼切入比較好?
謝謝老師!

來這裡找吧，這裡有滿滿的考古題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

1.
設\(f(x)\)為一317次多項式滿足\(\displaystyle f(k)=\frac{1}{k}\)，\(k=1,2,3,\ldots,318\)，則\(f(320)=\)　　　。
[解答]
要直接用插值多項式做，也不是不可以，只是組合恆等式要熟一點，可以像下面這樣做

以拉格朗日，插值多項式表示之，令 \( f(x)=\sum\frac{1}{k}f_{k}(x) \)，其中 \( f_{k}=\frac{\prod_{i=1}^{k-1}(x-i)\cdot\prod_{i=k+1}^{318}(x-i)}{\prod_{i=1}^{k-1}(k-i)\cdot\prod_{i=k+1}^{318}(k-i)}=(-1)^{k}\frac{\prod_{i=1}^{k-1}(x-i)\cdot\prod_{i=k+1}^{318}(x-i)}{(k-1)!(318-k)!} \)

而 \( \frac{1}{k}f_{k}(320)=\frac{(-1)^{k}}{k}\cdot\frac{319!}{320-k}\cdot\frac{1}{(k-1)!(318-k)!}=(-1)^{k}\frac{319-k}{320}\frac{320!}{k!(320-k)!}=(-1)^{k}\frac{319-k}{320}C_{k}^{320} \)。

注意 \( (1+x)^{320}=\sum\limits _{k=0}^{320}C_{k}^{320}x^{k} \)，微分得 \( 320(1+x)^{319}=\sum\limits _{k=1}^{320}kC_{k}^{320}x^{k-1} \)。

將 \( x=-1 \) 代入得 \( \sum\limits _{k=0}^{320}(-1)^{k}C_{k}^{320}=0 \), \( \sum\limits _{k=1}^{320}(-1)^{k-1}kC_{k}^{320}=0 \)。

故所求
\( \begin{aligned}f(320) & =\sum\limits _{k=1}^{318}\frac{1}{k}f_{k}(x)=\frac{319}{320}\cdot\sum\limits _{k=1}^{318}(-1)^{k}C_{k}^{320}+\frac{1}{320}\cdot\sum\limits _{k=1}^{318}(-1)^{k-1}kC_{k}^{320}\\
& =\frac{319}{320}\cdot(-1+320-1)+\frac{1}{320}\cdot(320-319\cdot320)\\
& =-\frac{159}{160}
\end{aligned} \)

做樣，挺累的...而且一不小心就會出錯，所以還是看樓上連結裡的方法吧

感謝各位!
也謝謝寸絲老師將我的不足說明
謝謝!

填充5
終於找到，是93年新竹區筆試一第二題，不一樣的是邊長為4，以及求的是BD

填 5. 再補另一個解法：



由面積可知正方形之邊長為 \( \sqrt[4]{3} \)。注意直角的位置，可知正方形左下角為原來的 \( H \)，右上角為原來的 \( I \)。

並且正方形之一邊(最右邊)為 \( 2\overline{GI}=\sqrt[4]{3} \) \( \Rightarrow\overline{GI}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2} \)。坐標化，

令 \( G(0,0), F(-1,0), B(-\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}) \), \( r=\frac{\sqrt[4]{3}}{2} \)。

再令 \( \Gamma \)  為一圓，其圓心為 \( G \)，半徑為 \( r \)，則 \( \overline{FE} \) 為圓 \( \Gamma \) 之切線。

計算此切線方程式得 \( y=-\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}}(x+1) \)，其與 \( y=-\frac{\sqrt{3}}{2} \) 之交點 \( E \)  之坐標為 \( (\frac{\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2}-1,-\frac{\sqrt{3}}{2}) \)。

故所求 \( \overline{BE}=\frac{\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2}-1+\frac{3}{2}=\frac{1+\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2} \) 。

6.
空間中，有四個求兩兩相切(外切)，半徑分別為2,3,2,3。有另一球與四球皆外切，則其半徑=　　　。

求救第6題
算了兩次都同一解
我是用坐標化
設計出四個外切圓 , 他們的圓心位置成了一個還算好算的四面體
接著假設了第五圓的方程式 , 並求其半徑
不過我的答案是\(\displaystyle \frac{-110+12\sqrt{133}}{41}\)
直覺這麼醜不是答案 , 又想說是建中 , 醜好像也是應該的
請問我這樣的方向是正確的嗎
若正確 , 我就再拼一次
若錯誤 , 請救援~

想請問第八題，四次方程式有實數解，則可能四實數，或二實二虛。
能否請版上各位先進給一個方向讓我繼續想下去

填 8.
若\(x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0\)有實數解，則\(a^2+b^2\)的最小值為　　　。
[提示]
那樣係數首尾對稱的式子

常用 \(\displaystyle t = x+\frac1x \) 代換處理之

這樣就可以降低成二次方程式

99年台中區複賽二第三題
我是分情況討論