102大直高中

計算題為教學現場如何引導學生做題及觀念陳述。

想請教填充第8題 謝謝

填充第 8 題：
有一個數列，\( a_1=1 \)且\( a_9+a_{10}=646 \)。此數列的第一、第二、第三項成等比數列，第二、第三、第四項成等差數列；且一般而言，對所有的\( n \ge 1 \)，\( a_{2n-1},a_{2n} \)及\( a_{2n+1} \)成等比數列，\( a_{2n},a_{2n+1} \)及\( a_{2n+2} \)成等差數列。設\( a_k \)為此數列中小於1000的最大項，試求\( k= \)？
[解答]
拋磚引玉一下，小弟的作法有點繁瑣～而且答案有兩個～＝＝？　

有勞大家幫忙 debug 了！：Ｐ

-----------------------------------------------------------------------------------

令 \(a_2 = r\)，則

觀察一下數列：

\(a_1 = 1\)

\(a_2 = r\)

\(\displaystyle a_3 = \frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}=r^2\)

\(a_4=2a_3-a_2 = r\left(2r-1\right)\)

\(\displaystyle a_5=\frac{\left(a_4\right)^2}{a_3}=\left(2r-1\right)^2\)

\(a_6=2a_5-a_4 = \left(2r-1\right)\left(3r-2\right)\)

\(\displaystyle a_7=\frac{\left(a_6\right)^2}{a_5}=\left(3r-2\right)^2\)

\(a_8=2a_7-a_6 = \left(3r-2\right)\left(4r-3\right)\)

\(\displaystyle a_9=\frac{\left(a_8\right)^2}{a_7}=\left(4r-3\right)^2\)

\(a_{10}=2a_9-a_8 = \left(4r-3\right)\left(5r-4\right)\)

可以找到規律是 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2, a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right),\forall n\geq 2\)

（應該可以用數學歸納法證明這件事～：Ｐ）

由 \(a_9+a_{10}=646\)，可得 \(\displaystyle r=\frac{-125}{36}\) 或 \(r=5\)

若 \(r=5\)，則 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2<1000 \Rightarrow n\leq 7\)

　　　　　　　 \(a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right)<1000\Rightarrow n\leq8\)

　　　　　　　　\(\Rightarrow k=2\times8=16\)

若 \(\displaystyle r=\frac{-125}{36}\)，則 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2<1000  \Rightarrow n\leq 7\)

　　　　　　　 \(a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right)<1000\Rightarrow n\leq7\)

　　　　　　　　\(\Rightarrow k=2\times7+1=15\)

第八題我的算法也是這樣耶~
算出來的\(r\)值也一樣
4分而已....好少....

有去考試的老師們能提供一下計算題是哪些題目嗎？

8.
有一個數列，\( a_1=1 \)且\( a_9+a_{10}=646 \)。此數列的第一、第二、第三項成等比數列，第二、第三、第四項成等差數列；且一般而言，對所有的\( n \ge 1 \)，\( a_{2n-1},a_{2n} \)及\( a_{2n+1} \)成等比數列，\( a_{2n},a_{2n+1} \)及\( a_{2n+2} \)成等差數列。設\( a_k \)為此數列中小於1000的最大項，試求\( k= \)？

A sequence of positive integers with \( a_1=1 \) and \( a_9+a_{10}=646 \) is formed so that the first three terms are in geometric progression, the second, third, and fourth terms are in arithmetic progression, and, in general, for all \( n \ge 1 \), the terms \( a_{2n-1} \), \( a_{2n} \), \( a_{2n+1} \) are in geometric progression, and the terms \( a_{2n} \), \( a_{2n+1} \), and \( a_{2n+2} \) are in arithmetic progression. Let \( a_{n} \) be the greatest term in this sequence that is less than 1000. Find \( n+a_{n} \).
(2004AIME第九題，http://www.artofproblemsolving.c ... id=45&year=2004)
點題號會跳到討論文章

中文題目應該是從這裡抄出來的，檔案就少了正整數這個條件
h ttp://e-tpd.kssh.khc.edu.tw/sys/read_attach.php?id=866　連結已失效

計算題總共八題，細節有點記不太住了，真是抱歉，不過最後一題為101全國聯招，計算第2題，(https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&highlight=101) 。重點應該是如何引導學生，而非解題。

另外還記得一題，圓內接四邊形ABCD，四邊長依順時針方向為1、4、8、7，求圓的半徑。

填充第4 (向量那題) 答案應該給錯了...

舉個特別的例子:
A(0,0), B(0,5), C(5,0)
則依題意 P(4,6)
a(ABC)=25/2
a(ABP)=24/2
得到 a(ABP):a(ABC)=24:25   (答案給4:5)

另外一提，最近在登錄 mathpro 時，一直遇到驗證碼錯誤而無法登入的問題，
不知大家是否也有相同的困擾??

我依你的數據算了
a(ABP)是5*4/2=20/2
比完之後確實是4:5
答案應該沒錯~