Math Pro 數學補給站» 高中的數學 » III：平面坐標與向量 » 題目：圓O內接正五邊形ABCDE，圓半徑1，向量AB+AC+AD+AE的長度?

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題目：圓O內接正五邊形ABCDE，圓半徑1，向量AB+AC+AD+AE的長度?

thankyou

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1^# 大中小發表於 2012-12-20 22:12 只看該作者

題目：圓O內接正五邊形ABCDE，圓半徑1，向量AB+AC+AD+AE的長度?

圓內接正五邊形ABCDE，圓心O，若圓半徑1，求AB

+AC

+AD

+AE

長度=？
請教一題向量問題,謝謝!!

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weiye

瑋岳

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2^# 大中小發表於 2012-12-21 09:11 只看該作者

回復 1# thankyou 的帖子

題目：圓內接正五邊形ABCDE，圓心O，若圓半徑1，求向量AB

+AC

+AD

+AE

的長度＝？

解答：

如圖：AB

+AC

+AD

+AE

+AG

所求＝2

AF+AG

2cos254

+2cos218

21+cos108

21+cos36

2+cos108

+cos36

2−sin18

+cos36

2−4

5−1+4

5+1

多喝水。

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老王

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3^# 大中小發表於 2012-12-21 20:19 只看該作者

令 w=cos72o+isin72o
則 \displaystyle A=1,B=w,C=w^2,D=w^3,E=w^4
所求即
\displaystyle \| (w-1)+(w^2-1)+(w^3-1)+(w^4-1) \|=\| -5 \|=5

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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weiye

瑋岳

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4^# 大中小發表於 2012-12-22 00:39 只看該作者

感謝老王老師讓我想到另解： ^__^

\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}+\vec{AE}=\left(\vec{AO}+\vec{OB}\right)+\left(\vec{AO}+\vec{OC}\right)+\left(\vec{AO}+\vec{OD}\right)+\left(\vec{AO}+\vec{OE}\right)

　　　　　=\left(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}++\vec{OD}+\vec{OE}\right)+5\vec{AO}

　　　　　=\vec{0}+5\vec{AO}

　　　　　=5\vec{AO}

所求＝5\left|\vec{AO}\right|=5

多喝水。

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thankyou

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5^# 大中小發表於 2012-12-23 18:49 只看該作者

回復 4# weiye 的帖子

請問瑋岳老師 OA OB OC OD OE 五個向量之和為何是0向量?謝謝

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weiye

瑋岳

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6^# 大中小發表於 2012-12-23 19:10 只看該作者

回復 5# thankyou 的帖子

因為 O 是正五邊形 ABCDE 的中心點。

或是你也可以用三角函數證明：\displaystyle \cos0+\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}+\cos\frac{6\pi}{5}+\cos\frac{8\pi}{5}=0

且 \displaystyle \sin0+\sin\frac{2\pi}{5}+\sin\frac{4\pi}{5}+\sin\frac{6\pi}{5}+\sin\frac{8\pi}{5}=0

^__^

多喝水。