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2000AMC12一題

s6423579

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1^# 大中小發表於 2012-11-13 09:29 只看該作者

2000AMC12一題

若 a+b+c =10 , 求 abc+ab+ac+bc的最大值 ? (amc的試題)

補上條件 a,b,c為非負整數

(題本參考解法)

abc+ab+ac+bc=(a+1)(b+1)(c+1)-(a+b+c)-1 <= 如何得到的呢?

101.11.13版主補充
修改文章標題和補上出處
Let A,M,C and be nonnegative integers such that A+M+C=12. What is the maximum value of A

C+A

M+M

C+C

A?
(A)62　(B)72　(C)92　(D)102　(E)112
(2000AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... id=44&year=2000)

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weiye

瑋岳

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2^# 大中小發表於 2012-11-13 10:45 只看該作者

回復 1# s6423579 的帖子

引用:

原帖由 s6423579 於 2012-11-13 09:29 AM 發表
若 a+b+c =10 , 求 abc+ab+ac+bc的最大值 ? (amc的試題)

取 a=2k+10

b=−k

c=−k，其中 k

R

則 a+b+c=10 且 abc+ab+bc+ca=2k3−7k2−20k

當 k

時，abc+ab+bc+ca

。

故，abc+ab+bc+ca 無最大值。

註：題目的 a

c 如果沒有「其它限制」的話，所求是沒有最大值的。

多喝水。

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weiye

瑋岳

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3^# 大中小發表於 2012-11-13 22:24 只看該作者

回復 1# s6423579 的帖子

如果題目如 2000 年 AMC 的原始題目為 a

c 是"非負整數"且 a+b+c=12 的話，

則 abc+ab+bc+ca=(1+a)(1+b)(1+c)−1−(a+b+c)=(1+a)(1+b)(1+c)−13

由算幾不等式，可得 3(1+a)+(1+b)+(1+c)

3(1+a)(1+b)(1+c)

125

(1+a)(1+b)(1+c)

　　　　　　　　　　

112

(1+a)(1+b)(1+c)−13

　　　　　　　　　　

112

abc+ab+bc+ca

且當等號成立時，a=b=c=4。

註：把 (1+a)(1+b)(1+c) 乘法展開～會有 a

1 各一個，

　　所以 (1+a)(1+b)(1+c)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1

　　　　

abc+ab+bc+ca=(1+a)(1+b)(1+c)−1−(a+b+c)

多喝水。

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s6423579

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4^# 大中小發表於 2012-11-14 11:03 只看該作者

回復 3# weiye 的帖子

abc+ab+ac+bc=(a+1)(b+1)(c+1)-(a+b+c)-1 這一步，如何聯想到的呢?

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weiye

瑋岳

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5^# 大中小發表於 2012-11-14 19:19 只看該作者

回復 4# s6423579 的帖子

abc+ab+ac+bc 就是 a

c 任選三個相乘，加上～任選兩個相乘～

就會想說～其它的（任選一個、零個相乘）跑去哪裡了？

全部補齊的話，就是 abc+ab+bc+ca+a+b+c+1

可是～那就是 (1+a)(1+b)(1+c) 呀！

所以把 (1+a)(1+b)(1+c) 扣掉題目沒有的 a+b+c+1，就會是題目要問的 abc+ab+ac+bc 了！

多喝水。

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