arctan恆等式證明

chu1976

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1^# 大中小發表於 2008-5-1 22:52 只看該作者

arctan恆等式證明

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weiye

瑋岳

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2^# 大中小發表於 2008-5-1 23:18 只看該作者

引用:

原帖由 chu1976 於 2008-5-1 10:52 PM 發表

可以仿照這題 https://math.pro/db/thread-27-1-3.html 的方法，

利用其中的 arctan(x) － arctan(y) ＝ arctan{ (x－y)／(1＋xy) }

取 x＝k／(k＋1), y＝(k－1)／k

則， arctan{ k／(k＋1) } － arctan{ (k－1)／k } ＝ arctan{ 1／(2*k^2)}

所以，左式當中的每一項都可以分裂成兩項相減，

再兩兩對消之後，最終可得右式。

多喝水。

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chu1976

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3^# 大中小發表於 2008-5-2 12:11 只看該作者

引用:

原帖由 weiye 於 2008-5-1 11:18 PM 發表

可以仿照這題 https://math.pro/db/thread-27-1-3.html 的方法，

利用其中的 arctan(x) － arctan(y) ＝ arctan{ (x－y)／(1＋xy) }

取 x＝k／(k＋1), y＝(k－1)／k

則， arctan{ k／(k＋1) } － arctan{ (k－1)／k } ＝ arctan{ 1／(2*k^2)}

所以 ...

請問紅色部分是如何得來的呢?
是否有跡可循呢?

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weiye

瑋岳

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4^# 大中小發表於 2008-5-2 15:32 只看該作者

觀察而得，而觀察的過程如下，

利用題目所給的式子，將 n 分別以 k 及 k-1 帶入，

再將所得的兩式相減，即可得

arctan{ 1／(2*k^2)}＝ arctan{ k／(k＋1) } － arctan{ (k－1)／k } ...........（＊）

因此，猜測（＊）會成立，而證明過程如上文。 :-)

其實只要發現（＊），就可以發現，

原命題得的證明改成用數學歸納法也可以。

多喝水。

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