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101羅東高中二招3題

jen123

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1^# 大中小發表於 2012-7-4 15:10 只看該作者

101羅東高中二招3題

請教各位老師
這3題如何解題

附件

101羅東3題.png (12.83 KB)

2012-7-4 15:10

101羅東3題.png

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katama5667

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2^# 大中小發表於 2012-7-4 15:21 只看該作者

回復 1# jen123 的帖子

1.
我剛算錯了！沒注意到下標，修正了！

nk=02k

Cknk+1

=

nk=02k

n+1Ck+1n+1

=12(n+1)

nk=02k+1

Ck+1n+1

=12(n+1)

nk=−12k+1

Ck+1n+1−20

C0n+1

=12(n+1)

(2+1)n+1−1

=12(n+1)

3n+1−1

3.

令大圓為

:x2+y2=4r2

則小圓的圓心將在 x2+y2=r2 上

令小圓圓心為 (rcos

rsin

) ，

代表滾動時相對大圓的參考角

則可得小圓方程式為 (x−rcos

)2+(y−rsin

)2=r2

在小圓上任取一點 P(x

y)=(rcos(

+

)+rcos

rsin(

+

)+rsin

)

其中

為起始參考角，決定在小圓上的位置，

代表 P 點在小圓上旋轉角

觀察小圓滾動的情形，發現

=−

因為 rcos(

+

)+rcos

=rcos(

+

)+rcos

=r(cos(

+

)+cos

)

且 rsin(

+

)+rsin

=rsin(

+

)−rsin

=r(sin(

+

)−sin

)

則 xy=r(sin(

+

)−sin

)r(cos(

+

)+cos

)=2cos(2(

+

)+

)sin(2(

+

)−

)2cos(2(

+

)+

)cos(2(

+

)−

)=tan2

所以，當我們選定 P 點時，

也就固定了！

因此，我們發現 P 的 x

y 座標滿足 y=tan2

x

此即為一直線，又大圓的圓心為原點，此線必過原點，故得證！

---------------------------------------------
最後，我亦做了GGB檔，會較有感覺

同時，我也修正了之前錯誤的修正！

小圓滾大圓_2.rar (7.39 KB)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 08:37 PM 編輯 ]

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jen123

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3^# 大中小發表於 2012-7-4 22:20 只看該作者

太感恩了，謝謝。真是非常厲害。謝謝

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katama5667

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4^# 大中小發表於 2012-7-5 06:57 只看該作者

回復 3# jen123 的帖子

大圓小圓那題其實，還有一點點的小問題在！
就是P點位置的起始角度，我沒有考慮進去，

我已修正了那個部分，同時我之前角度的換算也有錯！也一起修正了！

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 08:14 PM 編輯 ]

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katama5667

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5^# 大中小發表於 2012-7-6 17:48 只看該作者

回復 1# jen123 的帖子

第2題

原式兩邊平方，得 36x2+96x

1−x2+64(1−x2)=25(2+2

1−x2)

48x

1−x2+7(1−2x2)=25

1−x2

將 x=sin

代入，得

48sin

cos

+7(1−2sin2

)=25cos

24sin2

+7cos2

=25cos

2524sin2

+725cos2

=cos

令 0

2

使得 sin

=2524

cos

=725 ，則上式變成

cos(2\theta-\alpha)=cos\theta

則

(1) 2\theta-\alpha=\theta\Rightarrow \theta=\alpha\Rightarrow x=sin\theta=\frac{24}{25} ，即得答案

(2) 2\theta-\alpha=-\theta\Rightarrow \theta=\frac{\alpha}{3}\Rightarrow x=sin\theta<sin\frac{\pi}{6}<\frac{1}{2} ，此解不合

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 05:50 PM 編輯 ]

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casanova

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6^# 大中小發表於 2012-7-9 20:13 只看該作者

引用:

原帖由 katama5667 於 2012-7-4 03:21 PM 發表
1.
我剛算錯了！沒注意到下標，修正了！
\large \sum^{n}_{k=0}2^{k}\times \frac{C^{n}_{k}}{k+1}

\large =\sum^{n}_{k=0}2^{k}\times \frac{C^{n+1}_{k+1}}{n+1} ...

還是不太清楚，能有好心人畫一下\alpha和\theta與\phi的位置關係嗎？或是再解釋地清楚一點。

這一段最不懂：

「在小圓上任取一點 P(x,y)=(rcos(\alpha+\theta)+rcos\phi,rsin(\alpha +\theta)+rsin\phi)

　其中 \alpha 為起始參考角，決定在小圓上的位置，\phi 代表 P 點在小圓上旋轉角

　觀察小圓滾動的情形，發現 \theta=-\phi」

不懂P(x,y)是這樣假設，還有\theta=-\phi。

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Ellipse

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7^# 大中小發表於 2012-7-9 20:38 只看該作者

引用:

原帖由 casanova 於 2012-7-9 08:13 PM 發表

還是不太清楚，能有好心人畫一下\alpha和\theta與\phi的位置關係嗎？或是再解釋地清楚一點。

這一段最不懂：

「在小圓上任取一點 P(x,y)=(rcos(\alpha+\theta)+rcos\phi,rsin(\alpha +\theta)+rsin\phi) ...

大圓小圓那題,之前有人問過
https://math.pro/db/thread-1304-1-1.html

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casanova

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8^# 大中小發表於 2012-7-9 20:54 只看該作者

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-7-9 08:38 PM 發表

大圓小圓那題,之前有人問過
https://math.pro/db/thread-1304-1-1.html

這個也看不太懂，可以提供更淺顯或相關的資料嗎？

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Ellipse

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9^# 大中小發表於 2012-7-9 23:15 只看該作者

引用:

原帖由 casanova 於 2012-7-9 08:54 PM 發表

這個也看不太懂，可以提供更淺顯或相關的資料嗎？

考這個的話,那軌跡公式一定要背
有幾個人可以當場導出公式?

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