1.
我剛算錯了！沒注意到下標，修正了！
\(\large \sum^{n}_{k=0}2^{k}\times \frac{C^{n}_{k}}{k+1}\)
\(\large =\sum^{n}_{k=0}2^{k}\times \frac{C^{n+1}_{k+1}}{n+1}\)
\(\large =\frac{1}{2(n+1)}\times \sum^{n}_{k=0}2^{k+1}\times C^{n+1}_{k+1}\)
\(\large =\frac{1}{2(n+1)}\times \left(\sum^{n}_{k=-1}2^{k+1}\times C^{n+1}_{k+1}-2^{0}\times C^{n+1}_{0} \right)\)
\(\large =\frac{1}{2(n+1)}\times \left((2+1)^{n+1}-1 \right)\)
\(\large = \frac{1}{2(n+1)}\times \left(3^{n+1}-1 \right) \)
3.
令大圓為 \(\Gamma :x^2+y^2=4r^2\)
則小圓的圓心將在 \(x^2+y^2=r^2\) 上
令小圓圓心為 \((rcos\theta,rsin\theta)\) ，\(\theta \) 代表滾動時相對大圓的參考角
則可得小圓方程式為 \((x-rcos\theta )^2+(y-rsin\theta)^2=r^2\)
在小圓上任取一點 \(P(x,y)=(rcos(\alpha+\theta)+rcos\phi,rsin(\alpha +\theta)+rsin\phi)\)
其中 \(\alpha\) 為起始參考角， 決定在小圓上的位置，\(\phi\) 代表 \(P\) 點在小圓上旋轉角
觀察小圓滾動的情形，發現 \(\theta=-\phi\)
因為 \(rcos(\alpha+\theta) +rcos\phi=rcos(\alpha+\theta) +rcos\theta=r(cos(\alpha+\theta) +cos\theta)\)
且 \(rsin(\alpha+\theta) +rsin\phi=rsin(\alpha+\theta) -rsin\theta =r(sin(\alpha+\theta) -sin\theta)\)
則 \(\large \frac{y}{x}=\frac{r(sin (\alpha+\theta) -sin\theta)}{r(cos (\alpha+\theta) +cos\theta)}=\frac{2cos(\frac{(\alpha+\theta) +\theta }{2})sin(\frac{(\alpha+\theta) -\theta }{2})}{2cos(\frac{
(\alpha+\theta) +
\theta
}{2})cos(\frac{
(\alpha+\theta) -\theta
}{2}) }=tan\frac{\alpha}{2}\)
所以，當我們選定 \(P\) 點時，\(\alpha\) 也就固定了！
因此，我們發現 \(P\) 的 \(x,y\) 座標滿足 \(y=tan\frac{\alpha}{2} x\)
此即為一直線，又大圓的圓心為原點，此線必過原點，故得證！
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最後，我亦做了GGB檔，會較有感覺
同時，我也修正了之前錯誤的修正！
小圓滾大圓_2.rar (7.39 KB)
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本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 08:37 PM 編輯 ]
