101中正高中二招

去年中正那題截痕是拋物線，

今年填充5的截痕是橢圓，線段BD長=長軸長

而其中一個焦點就是三角形ABD的內切圓和線段BD的切點。

以上為小弟的想法，有錯誤請指正。

[ 本帖最後由 wayloon 於 2012-7-3 02:10 PM 編輯 ]

如上面紅字的部分是怎麼來的？

x=(1/4)(1+y)  *4   =1+y
　^^^^^^^^^^^^^
   A到任一中點的機率是１/４, 有四條選擇

y=(1/4)*1    +   (1/4)(1+y)          　　 +(1/4)(1+y)              　　    + (1/4)(1+x)
    ^^^^^^^^         ^^^^^^^^^^^             　　 ^^^^^^^^^^^^^                　　　    ^^^^^^^^^^^^
    B-->C    B-->另ㄧ個中點-->C  　 B-->另ㄧ個中點-->C　　　　　B-->A-->C

感謝 mandy 老師已經幫忙解說了。
至於今年台大數學推甄題解，其實我已經寫好了，只是很懶惰!!
打字還缺最後兩題沒打~~~~

http://goo.gl/sDR8I

請參考本篇文章主題二，有相關內容和證明

這是利用到過球外一點會產生無限多條切線的觀念，有錯請指正

謝謝王老師與mandy與wayloon這麼快的回覆！太感激了！

[ 本帖最後由 larson 於 2012-7-3 10:03 PM 編輯 ]

填充 5

我畫了個圖，如下：

因為100年中正一招時，可知綠色的軌跡為抛物線，

現今我將底圓以點 \(B\) 為定點，順著圓錐面向上滑 \(30^{\circ}\)，則

所以 \(P,~Q\) 將順著此抛物線向上滑動到 \(P',~Q'\) 形成所求橢圓的短軸

利用 \(y=tx^2\) 定座標 \(E(0,0),Q(2,-2)\)，可算出 \(t=-\frac{1}{2}\)  

而 \(Q'(k,-1)\) 代入可求出 \(k=\sqrt{2}\)

所以 \(b=\sqrt{2}\)

又 \(a=\frac{1}{2}\overline{BD}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}=\sqrt{3}\)

所以正焦弦為 \(\large \frac{2b^2}{a}=\frac{4}{\sqrt{3}}\)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-7 08:33 PM 編輯 ]

填充 7. 其實應該改寫成組合數，才會有 Fu

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{17}(n-1+1)C_{3}^{n+2}=4\sum_{n=2}^{17}C_{4}^{n+2}+\sum\limits _{n=1}^{17}C_{3}^{n+2}=4C_{5}^{20}+C_{4}^{20}=66861 \)

類題

100 文華高中代理 填充16
試求 \( (1+x^{2})+2(1+x^{2})^{2}+3(1+x^{2})^{3}+\ldots+15(1+x^{2})^{15} \) 展開式中， \( x^{4} \) 項的係數。

100 中壢高中 填充9
試求 \( \sum\limits _{k=3}^{18}k^{2}C_{3}^{k} \) 。

想請教填充2和4題,謝謝

填充2

就是要找 \(x^2+2(a-c)x+(b-d)=0\) 無實數解的情形，
即 \((a-c)^2<b-d\) 的機率

(1)\(|a-c|=0\)且\(b-d\geq 1\)：\(\frac{6}{36}\times \frac{15}{36}\)
(2)\(|a-c|=1\)且\(b-d\geq 2\)：\(\frac{10}{36}\times \frac{10}{36}\)
(3)\(|a-c|=2\)且\(b-d\geq 5\)：\(\frac{8}{36}\times \frac{1}{36}\)

所以答案為 \(\frac{90+100+8}{36\times 36}=\frac{11}{72}\)

填充4

\(\sum^{n}_{k=1}k(C^{n}_{k})^2=\sum^{n}_{k=1}kC^{n}_{k}C^{n}_{k}=\sum^{n}_{k=1}nC^{n-1}_{k-1}C^{n}_{k}=n\sum^{n}_{k=1}C^{n-1}_{n-k}C^{n}_{k}\)

再考慮 \((1+x)^{2n-1}\) 展開後 \(x^{n}\) 的係數： \(C^{2n-1}_{n}\)

且

\((1+x)^{2n-1}=(1+x)^{n-1}(1+x)^{n}\)

\(=\left(C^{n-1}_{0}+C^{n-1}_{1}x+C^{n-1}_{2}x^2+\cdots+C^{n-1}_{n-1}x^{n-1} \right )\left(C^{n}_{0}+C^{n}_{1}x+C^{n}_{2}x^2+\cdots+C^{n}_{n}x^{n} \right )\)

乘開後 \(x^{n}\) 的係數為 \(\sum^{n}_{k=1}C^{n-1}_{n-k}C^{n}_{k}\)

所以，\(\sum^{n}_{k=1}k(C^{n}_{k})^2=nC^{2n-1}_{n}\)

套入原題中，\(\sum^{2012}_{k=1}k(C^{2012}_{k})^2=2012\times C^{4023}_{2012}=2012\times C^{4023}_{2011}\)

故 \((m,n)=(4023,2012),~or~(4023,2011)\)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-4 09:52 AM 編輯 ]