101松山家商

底數不是很漂亮

請問此題如何拆解?

謝謝

填充9.
不等式\(log_{14}(\sqrt{x}+\root 3\of x+\root 6 \of x)>log_{64}x\)之解集合為　　　。
[解答]
這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式<=>
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0<k^3+k^2+k<14 且0<k<2 (why? 請想一下)
才會符合不等式的解
解出0<k<2
所以0<x<64

Ellipse老師妳好

您這做法很漂亮

我剛想了一下
若直接用14與64為底
由圖形結構來看
不等式恆成立時
x>64, 好像也成立

不知我哪裡疏忽,或是我沒弄懂你上面所做的

打擾一下

謝謝

[ 本帖最後由 arend 於 2012-6-26 12:32 AM 編輯 ]

填充 9.
不等式\(log_{14}(\sqrt{x}+\root 3\of x+\root 6 \of x)>log_{64}x\)之解集合為　　　。
[解答]
這題之前也卡住了，樓樓上的橢圓兄似有妙招

來個比較笨的方法，磨它一下

令 \( x=k^{6}, t=\log_{2}7 \)，可化簡成 \( \ln(1+k+k^{2})>\ln k^{t}\Leftrightarrow k^{2}+k+1-k^{t}>0 \) 且 \( k>0 \)

\( f(k)=k^{2}+k+1-k^{t}, f(0)=f(2)=0 \),

\( f'(k)=2k+1-tk^{t-1}, f'(0)=1 \), 注意 \( t=\log_{2}7>2 \)。

所以 \( f'(k)  \) 在 \( [0,\infty) \)，是有對像開口向下的拋物線，且與 \( x \) 軸有唯一交點 \( x=s \)。

\( \Rightarrow f'(x)>0 \) on \( [0,s) \), \( f'(x)<0 \) on \( (s,\infty)\Rightarrow f \) 在 \( [0,\infty) \) 先遞增至 \( x=s \) 處，之後遞減。

又 \( f(0)=f(2)=0 \)，所以 \( f(x)=\begin{cases}
+ & ,\, x\in(0,2)\\
- & ,\, x>2\end{cases} \)

因此，其解為 \( (0,2) \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-25 11:20 AM 編輯 ]

第9題
不等式\(log_{14}(\sqrt{x}+\root 3\of x+\root 6 \of x)>log_{64}x\)之解集合為　　　。
[解答]
令 \(\displaystyle \sqrt[6]{x}=k \)
原式整理成  
\(\displaystyle \log_{14}(k+k^2+k^3) > \log_2 k \)
再假設  \(\displaystyle \log_2 k=y, \Rightarrow k=2^y \)
又可整理成
\(\displaystyle \log_{14}(2^y+4^y+8^y) > y \)
\(\displaystyle 2^y+4^y+8^y > 14^y \)
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y > 1 \)

當 \( y=1 \) 時，\(\displaystyle \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7} = 1 \)
所以當 \(\displaystyle y > 1 \) 時，
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y < \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1 \)
當 \(\displaystyle y < 1 \) 時，
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y > \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1 \)
所以解為 \(\displaystyle y < 1 \)
即 \(\displaystyle 0 < k < 2 \)
\(\displaystyle 0 < x < 64 \)

感謝王老師提供這個解法

我也想知道
可以請橢圓老師講解詳細點嗎?
關於圖形,謝謝

1.請問ellipse老師，填充第9題要怎麼用圖形看呢？想了很久還是不知道。
2.請問計算題的2和3要怎麼證明呢？3之前有人貼解法，看不太懂。

(以下是thepiano老師的說明)

log(14，k^3 + k^2 + k) 和 log(2，k) 在 (2，1) 相交
所以在 0＜k＜2 和 k＞2 這兩個區間，兩者之間的大小關係必相反

k = 1
log(14，k^3 + k^2 + k) = log(14，3) ＞ 0
log(2，k) = 0

故 0 ＜ k ＜ 2，log(14，k^3 + k^2 + k) ＞ log(2，k)
k ＞ 2，log(14，k^3 + k^2 + k) ＜ log(2，k)

計算2.
△ABC中，D為\( \overline{BC} \)上任一點，\( ∠BAD=\alpha \)，\( ∠CAD=\beta \)，\( ∠ACD=\gamma \)，\( ∠ABD=\delta \)，\( ∠ADC=t \)，試證：\( sin(\alpha+\beta)\cdot sin(\beta+\gamma)=sin \alpha \cdot sin \gamma+sin \beta \cdot sin \delta \)。
[提示]
我辛苦地翻書終於找到出處，想知道是如何證明的請自行查閱。
張景中,曹培生，從數學教育到教育數學p115

102.3.28補充
張景中，平面三角解題新思路p59也有這題


計算3.
已知\( a_0=1 \)，且\( \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}^2} \)，其中n為任意正整數。試證：\( \displaystyle a_n \le \frac{3}{4 \sqrt{n}} \)，\( n \in N \)。

\( \displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+\left( \displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}} \right)^2}=\frac{12}{\displaystyle 16 \sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}}}<\frac{12}{16\sqrt{k+1}} \)
＜處，需再證：\( \displaystyle (16\sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}})-(16\sqrt{k+1})>0 \)
使用基本微分，即可證明

我覺得這步會有問題\( \displaystyle \frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+(\frac{3}{4 \sqrt{k}})^2} \)，因為\( \displaystyle \frac{1}{1+a_k^2}>\frac{1}{1+(\frac{3}{4 \sqrt{k}})^2} \)

我的方法是
1.先證明\( a_n>0 \)(自己試著證明看看)
2.數學歸納法
\( \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}^2}=(a_n+\frac{1}{a_n})^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}>2+\frac{16n}{9}>\frac{16(n+1)}{9} \)
\( \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}>\frac{4 \sqrt{n+1}}{3} \)
因為前面有證明\( a_n \)為正數，所以開根號不會是負的
\( \displaystyle a_{n+1}<\frac{3}{4 \sqrt{n+1}} \)
(證明的過程等號不會成立)