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101高雄市聯招

Ellipse

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21^# 大中小發表於 2012-6-23 23:10 只看該作者

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原帖由 tsusy 於 2012-6-23 04:09 PM 發表
的確有問題...

\( \theta = \frac{2\pi}{49} \) 是一個固定的常數，微分之後就變成 0 了

而考慮 \( z=\cos \theta + i\sin \theta \) 的想法是好的

考慮差比級數 \( 1+2z+3z^2+4z^3+\ldots+49z^{48} \)

可用等比級 ...

用微分的方法也是可以

令z=cosa+i*sina,
1+z+z^2+z^3+..........+z^49=(z^50-1)/(z-1) ------------(*1)
兩邊對z微分得1+2z+3z^2+.....................49z^48 =[50*z^49(z-1) -(z^50-1)]/(z-1)^2
=(49*z^50-50*z^49+1) /(z-1)^2 -------------(*2)
令a=2Pi/49 ,所以z^49=1 ,z^50=z代入(*2)
右式=(49*z-49)/(z-1)^2 =49/(z-1)
接下來就是將後面化簡
再比較左右兩邊的實部~~

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dav

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22^# 大中小發表於 2012-6-24 11:55 只看該作者

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-6-23 11:10 PM 發表

用微分的方法也是可以

令z=cosa+i*sina,
1+z+z^2+z^3+..........+z^49=(z^50-1)/(z-1) ------------(*1)
兩邊對z微分得1+2z+3z^2+.....................49z^48 =[50*z^49(z-1) -(z^50-1)]/(z-1)^2
=(49*z^50- ...

感恩~了解了

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meifang

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23^# 大中小發表於 2012-6-26 00:06 只看該作者

謝謝各位老師^^
我想問一下第16的類題
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k(k+2)}=\frac{1}{2}\) (97中和高中)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=2\) (97台南女中)
這兩題要怎麼用黎曼積分解釋好像不是組中點這種題目是不是有出現 +1 +2都可以不用理他

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Hanshen

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24^# 大中小發表於 2012-6-27 12:07 只看該作者

回復 14# dav 的帖子

第六題可以用複平面來看它
\(z\)可看成是在\( \displaystyle y=-\frac{1}{2}x\)上的一點
且與\( (-1,\sqrt{3}),(3,-3 \sqrt{3}) \)的距離比為4:3
就可以用分點公式求\(z\)了

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katama5667

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25^# 大中小發表於 2012-7-3 08:29 只看該作者

引用:

原帖由 meifang 於 2012-6-26 12:06 AM 發表
我想問一下第16的類題
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k(k+2)}=\frac{1}{2}\) (97中和高中)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=2\) (97台南女中)

(1)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k(k+2)}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}(\frac{k}{n}+\frac{2}{n})}\)

\(=\int^{1}_{0}\sqrt{x^2}dx=\frac{1}{2}\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{\sqrt{k(n+1)}}\)

\( \displaystyle =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{n}{k}\times \frac{n}{n+1}}=\int^{1}_{0}\sqrt{\frac{1}{x}}dx=2\)
不過，基本上你應該去爬一下文