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機率的題目，利用遞迴數列求機率的題目

chu1976

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1^# 大中小發表於 2008-4-12 23:30 只看該作者

機率的題目，利用遞迴數列求機率的題目

甲乙二人輪流擲一不公正銅板(出現正面機率為2/3,出現反面機率為1/3),若出現正面,甲給乙一元,出現反面,乙給甲一元.金甲有m元,乙有n元($m,n\in N$), 則甲將乙錢贏光之機率為______.

[解]設甲有k元時,將乙贏光之機率為a_k且a_0=0,a_m+n=1,
為何a_k=1/3*(a_k+1)+2/3*(a_k-1)呢?!<--此恆等式怎麼得來的?

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weiye

瑋岳

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2^# 大中小發表於 2008-4-13 01:16 只看該作者

引用:

原帖由 chu1976 於 2008-4-12 11:30 PM 發表
[解]設甲有k元時,將乙贏光之機率為a_k且a_0=0,a_m+n=1,
為何a_k=1/3*(a_k+1)+2/3*(a_k-1)呢?!<--此恆等式怎麼得來的?

"輪流丟"，這三個字好像沒有用到？

當甲有 $k$ 元時，其獲勝機率 $a_k$ 恰由下列二者組成，

case i. 若擲出反面(機率是 $\frac{1}{3}$)，則甲變為 $k+1$ 元，接下來獲勝機率為 $a_{k+1}$ 。

case ii. 若擲出正面(機率是 $\frac{2}{3}$)，則甲變為 $k-1$ 元，接下來獲勝機率為 $a_{k-1}$ 。

所以 $a_k=\frac{1}{3}a_{k+1}+\frac{2}{3}a_{k-1}$

剩下的就用遞迴數列的特徵方程式來解就可以了。

題外話：

這題目應該是跟隨機過程(Stochastic process)裡面醉漢走路的問題一樣，

Google 搜尋"隨機過程醉漢" 或 "Random Walk" 會有些相關的介紹，

其中 http://www.stat.nuk.edu.tw/prost ... %86%89%E6%BC%A2.htm　這篇的說明與解法也蠻不錯的。

另外，台中一中的某次高二學校期末考有考過上面這題( http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T93223A.pdf )，

不過機率改成各 $\frac{1}{2}$ 而已。

討論串：http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=42950

多喝水。

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chu1976

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3^# 大中小發表於 2008-4-13 13:28 只看該作者

謝謝您的答覆
其實我的問題就是跟您的答案一樣!
覺得遞迴關係式1/3, 2/3 的位置應該是寫反了!

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mandy

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4^# 大中小發表於 2009-7-20 16:52 只看該作者

請幫我算算看 , 答案是 a_n=(2^m)*[(2^n)-1] / {[2^(m+n)]-1} 嗎?

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blue

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5^# 大中小發表於 2010-5-7 18:25 只看該作者

這邊原先的遞迴關係應該沒有問題
假設這一局有k元
Case 1. 下一局, 甲贏一元機率為1/3 繼續贏光錢的機率為$$a_{k+1}$$
Case 2. 下一局, 甲輸一元機率為2/3 繼續贏光錢的機率為$$a_{k-1}$$
故遞迴關係應該為 $$a_{k}=\frac 1 3 a_{k+1}+\frac 23 a_{k-1}$$.

之前我跟weiye老師想法是一樣, 後來仔細想過遞迴式原始答案給的應該沒錯.

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tuhunger

阿基鴻德

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6^# 大中小發表於 2013-6-7 00:04 只看該作者

越看越糊塗

引用:

原帖由 weiye 於 2008-4-13 01:16 AM 發表

"輪流丟"，這三個字好像沒有用到？ ...

___________________________________________________________________________________

我原本的想法 P(k)=2/3*P(k-1) + 1/3*P(k+1) .....這兩年來做到這題時都是這樣想

但今天再次看到這個題目,突然感覺是 P(k)=1/3*P(k-1) + 2/3*P(k+1)才對,
但我發現我的想法犯了瑋岳學長之前的錯誤,卻改不回來...
有人能解釋嗎?

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peter0210

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7^# 大中小發表於 2014-3-15 20:11 只看該作者

我想問的是

為什麼a_0=0,a_m+n=1

想好久了

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weiye

瑋岳

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8^# 大中小發表於 2014-3-15 21:02 只看該作者

回復 8# peter0210 的帖子

甲手上 0 元，表示所有的錢都在乙手上，甲輸光了，甲的獲勝機率＝０，

甲手上 m+n 元，表示所有的錢都在甲手上，乙輸光了，甲的獲勝機率＝１。

多喝水。

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