101建國中學

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公告少了計算證明第二題

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計算2
設\(n\)為大於1的正整數，數列\(\langle\;a_j\rangle\;\)>滿足\(\displaystyle \frac{1}{2}<a_j<1(j=1,2,\ldots,n)\)，試證明：對於任何大於1的正整數\(n\)，\(\displaystyle (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n)>1-(a_1+\frac{a_2}{2}+\ldots+\frac{a_n}{2^{n-1}})\)
[解答]
用數學歸納法
(1)當n=2時
    (1-a1)(1-a2)=1-a1-a2+a2*a1>1-a1-a2+a2*(1/2)=1-(a1+a2/2)成立
(2)假設n=k時
   (1-a1)*(1-a2)*...............*(1-ak)>1-{ a1+a2/ 2+................+ak / 2^(k-1) }成立
    則當n=k+1時
    (1-a1)*(1-a2)*...............*(1-ak)* [1-a_(k+1)]
     >{1-[a1+a2 /2+................+ak /2^(k-1)]} *[1-a_(k+1)]
     =1-[a1+a2 /2+................+ak /2^(k-1)] -a_(k+1) + [a1+(1/2)*a2* +............+(1/2^(k-1))*ak] *a_(k+1)

    紅色部分 >[(1/2)+(1/2)^2+................+(1/2)^k]*a_(k+1)
                  =[1-(1/2)^k ]*a_(k+1)
                  =a_(k+1) - (1/2)^k*a_(k+1)

    綠色部分+紅色部分= - (1/2)^k*a_(k+1)

    此時不等式右式為1-[a1+a2 /2+................+ak  /2^(k-1)+  a_(k+1) / 2^k  ]
    故由數學歸納法可得證~~

填充2   1/3
埴充4   -(根號15)/5  ~ 謝謝王老師的更正

填充 3.
設隨機變數\(X\)為二項分布\(B(n,p)\)，令隨機變數\(Y\)的定義如下：\(Y=\cases{4　若X為偶數\cr 2　若X為奇數}\)，求\(Y\)的期望值為　　　。
[解答]
來個暴力解法

\( P(X=k)=C_{k}^{n}p^{k}(1-p)^{n-k} \), for \( 0\leq k\leq n \) 且 k 為整數

\( P(X\, even)=\sum\limits_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{2k}^{n}p^{2k}(1-p)^{n-2k}=(1-p)^{n}\sum \limits _{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{2k}^{n}(\frac{p}{1-p})^{2k} \).

\( (1+\frac{p}{1-p})^{n}+(1-\frac{p}{1-p})^{n}=2\sum \limits _{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{2k}^{n}(\frac{p}{1-p})^{2k} \)

\( \Rightarrow P(X\, even)=\frac{(\frac{1}{1-p})^{n}+(\frac{1-2p}{1-p})^{n}}{2}(1-p)^{n}=\frac{1+(1-2p)^{n}}{2} \), and \( P(X\, odd)=\frac{1-(1-2p)^{n}}{2} \)

\( EY=4\cdot P(X\, even)+2\cdot P(X\, odd)=3+(1-2p)^{n} \)

以上暴力，如何錯誤，煩請告知

填充 5. 跳過~~好反應...小弟看到這題的直覺也是跳過

剛剛玩了一下，有得莫名其妙的玩出來了

令 \( c=a-b>0 \), 則 \( a=b+c\geq2\sqrt{bc} \)

所以 \( a^{3}+\frac{6}{b(a-b)}\geq8\sqrt{b^{3}c^{3}}+\frac{6}{bc}=4\sqrt{b^{3}c^{3}}+4\sqrt{b^{3}c^{3}}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{bc}\geq5\cdot\sqrt[5]{128}=10\sqrt[5]{4} \)

以上等號成立條件為 \( b=c=\frac{1}{\sqrt[5]{2}} \)

謝謝老王的心路歷程,其中有幾題有疑惑想請問一下,
第七題該怎麼算出k的值等於0,3/16,8?
第八題我看不太出切點為(e,1)?,剛開始不是先假設切線為y=kx,然後算交點,到算交點的地方就卡住了,
希望高手可以解答一下我的疑惑,謝謝!

#7
已知方程式\(\displaystyle x^3-x^2-kx+\frac{3}{2}k=0\)有3個相異的實數解，試求\(k\)的範圍為　　　。
[解答[
設\(y = {x^3} - {x^2}\)與\(y = k(x - \frac{3}{2})\)切於一點\((t,{t^3} - {t^2})\)
\(\frac{{{t^3} - {t^2}}}{{t - \frac{3}{2}}} = 3{t^2} - 2t\)
解得\(t = 0,\frac{3}{4},2\)
代入\(k = 0,\frac{3}{{16}},8\)
利用微分與求根可大概畫出\(y = {x^3} - {x^2}\)的圖形
可發現要有三交點
\(0 < k < \frac{3}{{16}},k > 8\)

#8
曲線\(\Gamma\)為\(f(x)=ln x\)的圖形，過原點\(O\)與\(\Gamma\)相切之切線為\(L\)，\(\Gamma\)與切線\(L\)及\(x\)軸所圍成之區域為\(R\)，試問\(R\)繞\(x\)軸旋轉，所得的旋轉體積為　　　。
[解答]
\(y = \ln x\)與\(y = mx\)相切於\((s,t)\)
則\(m = \frac{1}{s}\)，代回直線可得\(t = 1\)，即\(\ln x = 1\)
故切點為\((e,1)\)
接下來旋轉體積的部份就分割成兩部分積分吧
分成(0,1)與(1,e)

想請教填充第4題
謝謝