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101明倫高中

八神庵

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1^# 大中小發表於 2012-6-13 21:43 只看該作者

101明倫高中

如題
請笑納

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101明倫高中題目.pdf (205.02 KB): 2024-6-21 14:22, 下載次數: 12197

101明倫高中答案.pdf (111.76 KB): 2024-6-21 14:22, 下載次數: 11755

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阿光

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2^# 大中小發表於 2012-6-14 15:14 只看該作者

想請教填充5,謝謝

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Duncan

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3^# 大中小發表於 2012-6-14 15:38 只看該作者

想請教各位老師填充第六，感謝！

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shiauy

一心

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4^# 大中小發表於 2012-6-14 17:18 只看該作者

引用:

原帖由阿光於 2012-6-14 03:14 PM 發表
想請教填充5,謝謝

5.
如右圖表示電路，而每個開關可使電流暢通的機率為\(p\)，且彼此不互相影響，則電流由\(L\)到\(R\)暢通的機率為何？
[解答]
分成3號開關的開與否
可以分成附件的圖來討論
3號是通的，如上圖
\(p{(1 - {(1 - p)^2})^2}\)
3號是不通的，如下圖
\((1 - p)(1 - {(1 - {p^2})^2})\)
加起來就是答案

6.
每個人都有兩隻手，在亂點鴛鴦譜的活動中，每隻手都有一個編號，隨機抽選 2 個號碼配對牽手，每人的一隻手都恰與另一隻手(可能是自己或他人的手)握住，相連在一起的人圍成一個圓圈。可能有：一人自成一圈，有 2 人牽成一圈，有 3 人牽成一圈，……。假設\(E_n\)代表\(n\)個人所結圓圈數的期望值，
(1)求\(E_1\)的值。　(2)求第一次抽選的2個號碼是同一人之機率　(3)求\(E_n-E_{n−1}=\)？　(4)求\(E_4\)的值。
[解答]
請參考許志農教授「戲說數學」
連結已失效h ttp://www.lungteng.com.tw/LungTengNet/HtmlMemberArea/publish/Math/017/01%E6%88%B2%E8%AA%AA%E6%95%B8%E5%AD%B8%E5%BA%8F.doc數學與猜想----數學期望值

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2012-6-14 17:18

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matric0830

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5^# 大中小發表於 2012-6-14 17:23 只看該作者

請問14題如何證明

請問第14題如何證明？

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shiauy

一心

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6^# 大中小發表於 2012-6-14 17:51 只看該作者

引用:

原帖由 matric0830 於 2012-6-14 05:23 PM 發表
請問第14題如何證明？

如果你手邊沒有高中課本可以翻閱
google會是你的好朋友

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matric0830

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7^# 大中小發表於 2012-6-14 18:07 只看該作者

引用:

原帖由 shiauy 於 2012-6-14 05:51 PM 發表

如果你手邊沒有高中課本可以翻閱
google會是你的好朋友

不好意思我是要問第15題～因為找過課本沒有才問的（ＰＱ在平面兩側的證明）

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shiauy

一心

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8^# 大中小發表於 2012-6-14 18:42 只看該作者

15.
設\(P(x_1,y_1,z_1)\)、\(Q(x_2,y_2,z_2)\)，若\(ax_1+by_1+cz_1+d>0\)且\(ax_2+by_2+cz_2+d<0\)，試證明\(P\)、\(Q\)兩點必在平面\(E\)：\(ax+by+cz+d=0\)之兩側。
[解答]
P、Q點到在平面E上投影點分別為P',Q'
向量\( \displaystyle PP'=\left( - a\frac{{a{x_1} + b{y_1} + c{z_1} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}, - b\frac{{a{x_1} + b{y_1} + c{z_1} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}, - c\frac{{a{x_1} + b{y_1} + c{z_1} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \right) \)
向量\( \displaystyle QQ'=\left( - a\frac{{a{x_2} + b{y_2} + c{z_2} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}, - b\frac{{a{x_2} + b{y_2} + c{z_2} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}, - c\frac{{a{x_2} + b{y_2} + c{z_2} + d}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \right) \)
由題目所給條件可知，向量PP'=k倍的向量QQ'，其中k為負值，故兩向量為反向
即PQ異側

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pizza

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9^# 大中小發表於 2012-6-14 22:28 只看該作者

引用:

原帖由 Duncan 於 2012-6-14 03:38 PM 發表
想請教各位老師填充第六，感謝！

(1)一個人\(E_{1}=1\)
(2)\(\displaystyle \frac{nC(2,2)}{C(2n,2)}=\frac{1}{2n-1} \)

只會(1)和(2),(3)和(4) 還請高手來解答
另外想請問12題怎麼證?謝謝

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tsusy

寸絲

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10^# 大中小發表於 2012-6-14 22:46 只看該作者

回復 9# pizza 的帖子

填充 6. 從 (2) (3) 的小題的題意，可以大膽猜測是玩遞迴

(3) 現在有 n 個人，如果第一次某人自我結圈，則剩下 n-1 個人，變成 n-1 的情況

如果第一次某兩人握手，則把此兩人看作一人，當作 n-1 個人，變成 n-1 的情況

承 (2) 得 \( E_n = \frac{1}{2n-1}(E_{n-1}+1) + \frac{2n-2}{2n-1}E_{n-1} \)

移項得 \( E_n - E_{n-1} = \frac{1}{2n-1} \)

(4) 承 (1)(3) 即可得

12.
若\(x\)軸為實係數三次函數\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)於反曲點\(x=k\)處唯一的水平切線，則\(x=k\)為\(f(x)=0\)的三重根。試證明之。
[解答]
另外 12 題可以參考 99 華江高中填充 3 瑋岳老師的解題 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1010&page=1#pid2465

得到 \( b^2 = 3ac \) 可將原式配成立方 \( f(x) = a(x+\frac{b}{3a})^3 + d' \)

但 \( d' \) 不一定是 0, 這裡是題目的瑕疪

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