101全國聯招

是中和高中考過。

選擇1.
設\(a_i\in\{\;1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}\;\)，\(i=1,2,\ldots,9\)為相異9個整數，若有3個3位數，\(a_1a_2a_3\)，\(a_4a_5a_6\)，\(a_7a_8a_9\)之乘積為最大，其中\(a_1=9\)，問\(a_2a_3\)為下列哪一數？
(A)87　(B)81　(C)63　(D)41
[解答]
題述三個三位數越大越好，

可知 \(a_1,a_4,a_7\in\left\{9,8,7\right\}\)

　　 \(\Rightarrow a_2,a_5,a_8\in\left\{6,5,4\right\}\)

　　 \(\Rightarrow a_3,a_6,a_9\in\left\{3,2,1\right\}\)

此時，可得 \(a_1a_2a_3 + a_4a_5a_6+a_7a_8a_9\) 為定值，

由算幾不等式可推知，當 \(a_1a_2a_3,\, a_4a_5a_6,\, a_7a_8a_9\) 這三個三位數間互相越接近時，此三數的乘積越大，

得此三數為 \(941, 852, 763\) 時，三數乘積為最大。

所以我思考的方向是對，中和沒寫對，沒想法。好在後來有確實訂正。

900X800X700，百位數越大其值越大
a8=6 則為760，900X800X760 當中60會乘800及900，其值較大，依此類推~

三數由規律性依續擺入數字9 , 8 ,7=> 94, 85, 76=> 941,852,763

可惜是計算題,用暴力應該會沒分....><

RE:可惜考試不能帶excel進去><....這題我懶得算,一看就知道是正相關.
但相關不是特高...就在BC兩個選一個, 因為要認真算真的很費時
結果.............................


我猜的答案是B

填充 6. 其實題目漏了，三數是否為偶數獨立的條件

這題之前，在某校考古題做過一次，就是漏條件了

沒這個條件的話，基本上是不能算的


To tuhunger: 為什麼覺得暴力證明，不會得分呢？

請教哪位高手能解選擇第6、第8題及第9題？
小弟愚笨，卡住了

選擇第6題：
\(n\)為正整數且\(n\le 110\)，則滿足\((sin\theta+i cos\theta)^n=sin n\theta+i cos n\theta\)之所有\(n\)其總和=
(A)1851　(B)1750　(C)1540　(D)2320
[解答]
Key: 要先化成極式，才能用隸美弗定裡喔！

\(\displaystyle\left( \sin \theta +i\cos \theta  \right)^n=\left[ \cos \left( \frac{\pi }{2}-\theta  \right)+i\sin \left( \frac{\pi }{2}-\theta  \right) \right]^n\)

\(\displaystyle=\cos \left( \frac{n\pi }{2}-n\theta  \right)+i\sin \left( \frac{n\pi }{2}-n\theta  \right)\)


且因為 \(\displaystyle\sin n\theta +i\cos n\theta =\cos \left( \frac{\pi }{2}-n\theta  \right)+i\sin \left( \frac{\pi }{2}-n\theta  \right)\)

所以，\(\displaystyle\frac{n\pi }{2}-n\theta \) 與 \(\displaystyle\frac{\pi }{2}-n\theta \) 為同界角，

亦即 \(\displaystyle\frac{n\pi }{2}-n\theta =\frac{\pi }{2}-n\theta +2k\pi \Rightarrow n=4k+1\)（其中 \(k\) 為整數），

因為 \(110=4\times 27+2\)，

所以滿足題意的所有 \(n\) 之和＝\(\displaystyle 1+5+9+\cdots +\left( 4\times 27+1 \right)=\frac{28\left( 2\times 1+27\times 4 \right)}{2}=1540\)

選擇第8題：
若\(\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{1+(1+2)}+\frac{1}{1+(1+2)+(1+2+3)}+\frac{1}{1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)}\)
\(\displaystyle +\ldots+\frac{1}{1+(1+2)+(1+2+3)+\ldots+(1+2+3+4+5+\ldots+18+19+20)}=\frac{b}{a}\)(\(a,b\)為整數，且\(\displaystyle \frac{b}{a}\)為一最簡分數)，則下列哪些選項為真？
(A)\(a\)為7之倍數　(B)\(b>120\)　(C)\(a<b\)　(D)\(a+b>199\)
[解答]
Key: 利用 sigma 處理分母，然後再分項對消！

所求＝\(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{1}{\sum\limits_{t=1}^{k}{\left( \sum\limits_{i=1}^t i\right)}}}=\sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{1}{\sum\limits_{t=1}^{k}{\frac{t\left( t+1 \right)}{2}}}}=\sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{2}{\sum\limits_{t=1}^{k}{{{t}^{2}}}+\sum\limits_{t=1}^{k}{t}}}\)

　　　\(\displaystyle =\sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{2}{\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}+\frac{k\left( k+1 \right)}{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{20}{\frac{6}{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}}\)

　　　\(\displaystyle =3\sum\limits_{k=1}^{20}{\left[ \frac{1}{k\left( k+1 \right)}-\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \right]}=3\left[ \frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{21\cdot 22} \right]\)

　　　\(\displaystyle =\frac{115}{77}\)