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101全國聯招

dream10

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1^# 大中小發表於 2012-6-3 12:49 只看該作者

101全國聯招

這次真快~~

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101全國聯招.pdf (293.29 KB): 2012-6-3 13:09, 下載次數: 25431

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shingjay176

興傑

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2^# 大中小發表於 2012-6-3 15:30 只看該作者

設AD為直角

ABC之斜邊上的高，過D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，令BC=a，BE=x，CF=y，求證x32+y32=a32。
[解答]
計算題第二題沒寫，在台中火車站才想出來。等等答案貼上來，是用相似形跟畢氏定理可以證出來。去年七十二分過，今年考試人數變多，不知幾分才可以過。

111.3.9補充
出自"數學解題思維方法"
https://www.silkbook.com/book_detail.asp?goods_ser=bk0029015

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2012-6-3 19:44

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2022-3-9 18:32

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bugmens

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3^# 大中小發表於 2012-6-3 16:06 只看該作者

計算證明題3.
設n為自然數，試以數學歸納法證明：5n5+2n4+3n3−n30為一自然數

thepiano給了數學歸納法的解法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2831
我提供另一種方法
原式=51(n5−n)+31(n3−n)+21n(n+1)(n2−n+1)
前兩個用費馬小定理得知是正整數，最後一個相鄰的兩整數有2的因數所以也是正整數

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wooden

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4^# 大中小發表於 2012-6-3 17:34 只看該作者

我將原式因式分解成[(n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)]/30=sigma(t^4){t=1~n}
則n=k+1時 sigma(t^4){t=1~k+1}=sigma(t^4){t=1~k)+(k+1)^4屬於自然數
不知這樣可不可以?

很抱歉，不會打數學符號

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tsusy

寸絲

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5^# 大中小發表於 2012-6-3 17:40 只看該作者

回復 4# wooden 的帖子

很厲害的方法，竟然能洞察出它是這個級數和

以數學邏輯證明而毫無問題，但題目指定數學歸納法

所以很可惜...

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hua0127

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6^# 大中小發表於 2012-6-3 19:23 只看該作者

若limn

(13+23+

+n3)(14+24+

+n4)(12+22+

+n2)(15+25+

+n5)=ab(a

b為整數，且ab為一最簡分數)，則a+b=？
(A)37　(B)29　(C)22　(D)19。
[解答]
做一題選擇第5題

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2012-6-3 19:29

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weiye

瑋岳

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7^# 大中小發表於 2012-6-3 19:37 只看該作者

回復 6# hua0127 的帖子

單選第 5 題：
若limn

(13+23+

+n3)(14+24+

+n4)(12+22+

+n2)(15+25+

+n5)=ab(a

b為整數，且ab為一最簡分數)，則a+b=？
(A)37　(B)29　(C)22　(D)19。
[解答]
來個另解，

所求＝limn

41n3+O(n3)

51n5+O(n4)

31n3+O(n2)

61n6+O(n5)

　　　=limn

120n9+O(n8)118n9+O(n8)

　　　=1820=910

多喝水。

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tsusy

寸絲

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8^# 大中小發表於 2012-6-3 19:37 只看該作者

回復 6# hua0127 的帖子

單選 5.
若limn

(13+23+

+n3)(14+24+

+n4)(12+22+

+n2)(15+25+

+n5)=ab(a

b為整數，且ab為一最簡分數)，則a+b=？
(A)37　(B)29　(C)22　(D)19。
[解答]
很標準的做法，如果是小弟在考場裡的話，看到選擇題就會偷懶

41

5131

61=1820=910

然後就填答案了，至於為什麼可以偷懶，有空的人自己想想吧

慢了一步...還被揭底了

設AD為直角

ABC之斜邊上的高，過D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，令BC=a，BE=x，CF=y，求證x32+y32=a32。
[解答]
好吧，只好來做計算 2. 來個暴力另解

坐標化. A(0

0)

B(c

0)

C(0

b) ，則 D(a2b2c

a2bc2)

所以 x=c3a2

y=a2b3

x32+y32=a32

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shingjay176

興傑

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9^# 大中小發表於 2012-6-3 19:41 只看該作者

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-6-3 07:37 PM 發表
很標準的做法，如果是小弟在考場裡的話，看到選擇題就會偷懶

41513161=1820=910

然後就填答案了，至於為什麼可以偷懶，有空的人自己想想吧

慢了一步... ...

你都會這樣偷吃步的做法勒，我今天在考場都老實運算，結論寫不完
填充題，書豪那一題要怎麼想，還有求f多項式那題

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tsusy

寸絲

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10^# 大中小發表於 2012-6-3 19:51 只看該作者

回復 9# shingjay176 的帖子

填充 8.
大雄、小夫、胖虎、宜靜、小安、大仁、書豪、建民，這8人都有網路帳號，他們本來只認識其中的少數某些人，經過一段時間後調查發現，每個人都恰好認識了自己以外的5個朋友(即每個人有2個人還不認識)，請問總共有　　　種不同的組成方式？
[解答]
想成環排不認識的站在一起

可以三種情況 (1) 8 個人一圈 (2) 5個 3 個各一圈 (3) 4 個 4 個各一圈

之後再算，應該就出來了

至於填充 4 的多項式，也沒想到什麼好方法，代定係數解方程式？！不太想動筆

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