101全國聯招

這次真快~~

設\(\overline{AD}\)為直角\(\Delta ABC\)之斜邊上的高，過\(D\)分別作\(\overline{DE}⊥\overline{AB}\)，\(\overline{DF}⊥\overline{AC}\)，令\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{BE}=x\)，\(\overline{CF}=y\)，求證\(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\)。
[解答]
計算題第二題沒寫，在台中火車站才想出來。等等答案貼上來，是用相似形跟畢氏定理可以證出來。去年七十二分過，今年考試人數變多，不知幾分才可以過。

111.3.9補充
出自"數學解題思維方法"
https://www.silkbook.com/book_detail.asp?goods_ser=bk0029015

計算證明題3.
設n為自然數，試以數學歸納法證明：\( \displaystyle \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \)為一自然數

thepiano給了數學歸納法的解法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2831
我提供另一種方法
原式\( \displaystyle =\frac{1}{5}(n^5-n)+\frac{1}{3}(n^3-n)+\frac{1}{2}n(n+1)(n^2-n+1) \)
前兩個用費馬小定理得知是正整數，最後一個相鄰的兩整數有2的因數所以也是正整數

我將原式因式分解成[(n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)]/30=sigma(t^4){t=1~n}
則n=k+1時 sigma(t^4){t=1~k+1}=sigma(t^4){t=1~k)+(k+1)^4屬於自然數
不知這樣可不可以?

很抱歉，不會打數學符號

很厲害的方法，竟然能洞察出它是這個級數和

以數學邏輯證明而毫無問題，但題目指定數學歸納法

所以很可惜...

若\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(1^2+2^2+\ldots+n^2)(1^5+2^5+\ldots+n^5)}{(1^3+2^3+\ldots+n^3)(1^4+2^4+\ldots+n^4)}=\frac{b}{a}\)(\(a,b\)為整數，且\(\displaystyle \frac{b}{a}\)為一最簡分數)，則\(a+b=\)？
(A)37　(B)29　(C)22　(D)19。
[解答]
做一題選擇第5題

單選第 5 題：
若\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(1^2+2^2+\ldots+n^2)(1^5+2^5+\ldots+n^5)}{(1^3+2^3+\ldots+n^3)(1^4+2^4+\ldots+n^4)}=\frac{b}{a}\)(\(a,b\)為整數，且\(\displaystyle \frac{b}{a}\)為一最簡分數)，則\(a+b=\)？
(A)37　(B)29　(C)22　(D)19。
[解答]
來個另解，

所求＝\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \left(\frac{1}{3}n^3+O(n^2)\right)\left(\frac{1}{6}n^6+O(n^5)\right)}{\displaystyle \left(\frac{1}{4}n^3+O(n^3)\right)\left(\frac{1}{5}n^5+O(n^4)\right)}\)

　　　\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{18}n^9+O(n^8)}{\displaystyle \frac{1}{20}n^9+O(n^8)}\)

　　　\(\displaystyle=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}\)

單選 5.
若\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(1^2+2^2+\ldots+n^2)(1^5+2^5+\ldots+n^5)}{(1^3+2^3+\ldots+n^3)(1^4+2^4+\ldots+n^4)}=\frac{b}{a}\)(\(a,b\)為整數，且\(\displaystyle \frac{b}{a}\)為一最簡分數)，則\(a+b=\)？
(A)37　(B)29　(C)22　(D)19。
[解答]
很標準的做法，如果是小弟在考場裡的話，看到選擇題就會偷懶

\(\displaystyle \frac{\frac13\cdot\frac16}{\frac14\cdot\frac15}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9} \)

然後就填答案了，至於為什麼可以偷懶，有空的人自己想想吧

慢了一步...還被揭底了


設\(\overline{AD}\)為直角\(\Delta ABC\)之斜邊上的高，過\(D\)分別作\(\overline{DE}⊥\overline{AB}\)，\(\overline{DF}⊥\overline{AC}\)，令\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{BE}=x\)，\(\overline{CF}=y\)，求證\(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\)。
[解答]
好吧，只好來做 計算 2. 來個暴力另解

坐標化. \( A(0,0),\, B(c,0),\, C(0,b) \) ，則 \(\displaystyle D(\frac{b^2c}{a^2},\frac{bc^2}{a^2}) \)

所以 \(\displaystyle x = \frac{c^3}{a^2},\, y = \frac{b^3}{a^2} \Rightarrow x^{\frac23}+y^{\frac23} = a^{\frac23} \)

你都會這樣偷吃步的做法勒，我今天在考場都老實運算，結論寫不完
填充題，書豪那一題要怎麼想，還有求f多項式那題

填充 8.
大雄、小夫、胖虎、宜靜、小安、大仁、書豪、建民，這8人都有網路帳號，他們本來只認識其中的少數某些人，經過一段時間後調查發現，每個人都恰好認識了自己以外的5個朋友(即每個人有2個人還不認識)，請問總共有　　　種不同的組成方式？
[解答]
想成環排 不認識的站在一起

可以三種情況 (1) 8 個人一圈 (2) 5個 3 個各一圈 (3) 4 個 4 個各一圈

之後再算，應該就出來了

至於填充 4 的多項式，也沒想到什麼好方法，代定係數解方程式？！不太想動筆