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101桃園農工

tsusy

寸絲

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21^# 大中小發表於 2012-5-30 18:42 只看該作者

回復 20# hua0127 的帖子

來個無聊例子， \( y=mx \) 的圖形是直線，所以任何一條垂線都是它的對稱軸

另外，如果考慮 \( y=x \) 是對稱的話，對稱的函數圖形，即為反函數

因為若 \( f (x) \) 之圖形以 \( y=x \) 為對稱軸 \( f(x) = f^{-1}(x) \) 則 \( f(f(x)) =x \)

寫到這還是沒什麼幫助，回到圖形，如果把 \( y = \frac1x \) 的右上圖形，截彎取直，

像是 \( y=\frac1x \) 和 \( x+y= c \) 所合成的圖形，也會對稱，而且避掉定義域或者不連續的問題

所以鉛直漸近線應該是非必要之條件

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hua0127

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22^# 大中小發表於 2012-5-30 19:33 只看該作者

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-30 06:42 PM 發表
來個無聊例子， \( y=mx \) 的圖形是直線，所以任何一條垂線都是它的對稱軸

另外，如果考慮 \( y=x \) 是對稱的話，對稱的函數圖形，即為反函數

因為若 \( f (x) \) 之圖形以 \( y=x \) 為對稱軸 \( f(x) = f^{-1}(x) \) 則 ...

y=mx 很棒的例子阿～非常不無聊 XD, 非常好的反例
f(x) 函數跟反函數 f^(-1)(x) 是對稱於y=x, 但是有沒有另一個函數g(x)
圖形會同時包含 f 跟 f^(-1) 的圖形，如果有的話，是否這樣才能說 y=x 為g(x)圖形的對稱軸
若考慮 f(x) 跟 f^(-1)(x) 兩個合成，這樣可以構成函數的機會是否很小？
像是y=10^x 跟 y=log(x) 兩個合成會對稱 y=x , 但是找不到一個"函數"使得圖形為前面的合成（會有一對多的情況發生）
所以若將 y=1/x 的右上截彎取直跟 x+y=c 合成，這樣的對稱軸為 y=x
但是是否能找到一個函數使得圖形為前面的兩個圖形合成，是否此時函數不會 well-defined
這樣的話是否通常能滿足這樣的圖形是一個方程式，例如像圓 x^2+y^2=1
若勉強要用一個函數達到的話，我好像只想到 y=1/x, 勉強可以，
但是你直線的例子就是非常好的反例，
當然也可能整篇都是我鬼打牆會錯意XD，也煩請多指教。

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tsusy

寸絲

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23^# 大中小發表於 2012-5-30 20:28 只看該作者

回復 22# hua0127 的帖子

我想我和你一樣也在鬼打牆， \( y = c - x \) 不就又是另一個超好的例子了

實際上只要找個偶函數，把它對原點順時針轉個 45 度，出來的圖形就會對於稱於 \( x= y \)

接著我們需要一些假設，來保證轉出的圖形，是某個函數的圖形

設函數 \( f(x) \) 是可微分的偶函數，且 \( f'(x) > -1 \)

從切線的方向去觀察，轉完後的切線方向，和轉前的切線夾 45 度角

原圖形 \( (x,f(x)) \) 對 \( x \) 微分得切線方向 \( (1,f'(x)) \)

如果以原位置的 \( x \) 坐標當作新的圖形的參數，則新的圖形對參數 \( x \) 微分，就是原微分轉 45 度

由 \( f'(x) > -1 \) 之條件可得該微分的水平分量必為正。

也就是說該圖形的 \( x \) 坐標對參數之微分恆正，為嚴格遞增函數，所以新的圖形每個 \( x \) 坐標只會出現一次

所以我們就可以利用新的圖形定義函數了

套用以上方法，其實要哪個對稱軸都可以造，只是需要轉的角度及 \( f'(x) \) 的限制不同而已

當然還有無敵的例子：直線。上述的構造，只是還想說這樣的東西要多少有多少，不會只有直線這個無聊的例子

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hua0127

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24^# 大中小發表於 2012-5-30 21:27 只看該作者

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-30 08:28 PM 發表
我想我和你一樣也在鬼打牆， \( y = c - x \) 不就又是另一個超好的例子了

實際上只要找個偶函數，把它對原點順時針轉個 45 度，出來的圖形就會對於稱於 \( x= y \)

接著我們需要一些假設，來保證轉出的圖形，是某個函數的圖 ...

的確，重點在於這樣構造的話，要達到需求的函數不勝枚舉,

這篇實在是太精彩了!不拜不行XD~小弟之前的想法就膚淺許多，

這篇學了不少東西，討論數學實在是一件非常好的事情，感謝指教!!

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tsusy

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25^# 大中小發表於 2012-5-30 21:55 只看該作者

回復 24# hua0127 的帖子

同意，討論數學真的很有趣。沒有您的開頭，也不會有在下後來的想法

再補充一點，因為是偶函數，所以， \( f'(x) > -1 \) 的條件，其實就是 \( |f'(x)| <1 \)

這樣的函數怎麼找呢？隨便找一個微分有界的函數如 \( y = \cos x \)

把它壓扁，壓下去後， \( y = c \cos x \), \( |c|<1 \) 這樣 \( |y'| \leq |c|<1 \) 就有了

其它像是 \( y = \frac{1}{1+x^2} \) 也可拿來壓，總之不勝枚舉

這個問題討論到此應該也差不多了，不要再讓我們兩個鬼打牆的繼續鬼打牆了

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march2001kimo

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26^# 大中小發表於 2012-6-4 14:40 只看該作者

回復 15# Ellipse 的帖子

小弟有個想法
是否可以用a^x+a^(-x)這種超函數來切入
那肯定對稱軸是鉛直線

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march2001kimo

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27^# 大中小發表於 2012-6-5 15:11 只看該作者

請問第2題跟第3題

麻煩指教如何切入
謝謝

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tsusy

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28^# 大中小發表於 2012-6-5 18:50 只看該作者

回復 27# march2001kimo 的帖子

填充 3.
已知直線\(L\)過點\(M(-2,1,2)\)且與平面\(2x+3y-z+1=0\)平行並且與直線\(\displaystyle \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-1}{1}\)相交，則\(L\)的方程式為　　　。(以對稱比例式表示)
[解答]
計算留著，自行補完

直線和平面平行，所以其方向與平面之法向量垂直

兩直線相交，所以兩直線共平面，從 \(M \) 點拉一個向量到已知直線，再和已知直線之方向向量外積，可得兩直線共所共平面之法向量。

兩個法向量皆與所求直線垂直，以外積可得欲求之方向向量

填充 2.
在坐標平面上，\(O\)為原點，從曲線\(xy=1(x>0)\)上兩點\(A,B\)，分別作\(\overline{AP}\)垂直\(x\)軸，垂足為\(P\)；作\(\overline{BQ}\)垂直\(x\)軸，垂足為\(Q\)。已知\(\Delta OAP\)的周長為\(\Delta OBQ\)周長的5倍，則\(\Delta OAP\)的內切圓半徑是\(\Delta OBQ\)內切圓半徑的　　　倍。
[解答]
設 \(\displaystyle A(a,\frac1a) \)，則 \( \triangle OAP \) 面積 \(\displaystyle = \frac12 a\cdot \frac1a =\frac12 \) 同理 \( \triangle OBQ \) 亦然

再利用 \( \frac12 rs = \) 面積，即可得半徑是 \( \frac15 \) 倍

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march2001kimo

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29^# 大中小發表於 2012-6-10 00:49 只看該作者

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-6-5 06:50 PM 發表
填充 3. 計算留著，自行補完

直線和平面平行，所以其方向與平面之法向量垂直

兩直線相交，所以兩直線共平面，從 \(M \) 點拉一個向量到已知直線，再和已知直線之方向向量外積，可得兩直線共所共平面之法向量。

兩個法向量皆 ...

謝謝寸絲老師

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three0124

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30^# 大中小發表於 2021-7-1 01:25 只看該作者

回復 16# hua0127 的帖子

不好意思
想請問各位老師關於此題的解法
因為所求應該是須滿足f(x)>0
但是當a=1/32時，f(1/2)會等於零
是否答案應該為1/32<a<1/2呢
不應該有等號

還是我有哪個地方想錯了呢
再請各位老師解答
謝謝

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