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101桃園高中

weiye

瑋岳

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11^# 大中小發表於 2012-5-24 22:42 只看該作者

回復 10# bugmens 的帖子

計算第 5 題：

365

7

11=5a+7b+c11

36=a

7

11+b

5

11+c

5

7

1

a

2(mod5)

a

3(mod5)

a=3 或 a=−2

1

b

6(mod7)

b

6(mod7)

b=6 或 b=−1

3

c

2(mod11)

c

7(mod11)

c=7 或 c=−4

因此僅有 2

2

2=8 種情況是有可能得，

再帶入 365

7

11=5a+7b+c11 檢查看這八種中有多少種會成立，

可得正確的答案。

多喝水。

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Ellipse

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12^# 大中小發表於 2012-5-24 22:53 只看該作者

計算5:
如果是用bugmens的想法來做的話
36=77a+55b+35c-------(*)
a=-4, 55b+35c=344 ,(55,35)不整除344. 所以b,c沒有整數解
a=-3, 55b+35c=267 ,(55,35)不整除267. 所以b,c沒有整數解
a=-2, 55b+35c=140 ,(55,35)整除140. 所以b,c有整數解 =>再找解
a=-1, 55b+35c=113 ,(55,35)不整除113. 所以b,c沒有整數解
a=0, 55b+35c=36 ,(55,35)不整除36. 所以b,c沒有整數解
a=1, 55b+35c=-41 ,(55,35)不整除-41. 所以b,c沒有整數解
a=2, 55b+35c=-118 ,(55,35)不整除-118. 所以b,c沒有整數解
a=3, 55b+35c=-195 ,(55,35)整除195. 所以b,c有整數解=>再找解
a=4, 55b+35c=-272 ,(55,35)不整除-272. 所以b,c沒有整數解

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-24 10:55 PM 編輯 ]

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weiye

瑋岳

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13^# 大中小發表於 2012-5-24 23:11 只看該作者

回復 11# weiye 的帖子

計算第 5 題：

另解，

36=77a+5(11b+7c)

解出通解 a=−2+5t

11b+7c=38−77t，其中 t 為整數，

因為

a

5，所以 t=0 或 t=1

case i: 當 t=0 時，11b+7c=38，解出通解 b=−1+7m

c=7−11m，其中 m 為整數，

　　　　因為

b

7 且

c

11，所以 m=0 或 m=1，可得 (a

b

c)=(−2

−1

7) 或 (−2

6

−4)

case Ii: 當 t=1 時，11b+7c=−39，解出通解 b=−1+7m

c=−4−11m，其中 m 為整數，

　　　　因為

b

7 且

c

11，所以 m=0，可得 (a,b,c)=(3,-1,-4)

>>>>>>>>>另外，順便來寫一下雙自由變數的通解，如下<<<<<<<<<<<<<<<<

36=77a+5(11b+7c)

先寫出 (a,11b+7c) 的特解 (-2,38)，再寫通解 a=-2+5t, 11b+7c=38-77t，其中 t 為整數，

再來考慮 11b+7c=38-77t，

先寫出 (b,c) 的特解 (-1,7-11t)，再寫通解 b=-1+7m, c=7-11t-11m，其中 m 為整數。

因此， (a,b,c) 整數解的通解為 (a,b,c)=(-2+5t, -1+7m, 7-11t-11m)，其中 t,m 為整數。

然後再依照本題的 |a|<5,|b|<7,|c|<11，也可解得對應的 t,m 之值。

多喝水。

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tsusy

寸絲

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14^# 大中小發表於 2012-5-25 00:01 只看該作者

回復 10# bugmens 的帖子

週三，武陵高中也考了一題，不過問的非負整數...

題意經轉換後為：求最大之正整數 a 使得 5n +12m =a , m, n 無非負整數解

不過時間緊湊，也沒時間細想它...有空再來做

網頁方程式編輯 imatheq

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老王

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15^# 大中小發表於 2012-5-25 21:28 只看該作者

填充八
因為 x \ne 0
假設\displaystyle \frac{y}{x}=t
再由 x \ge y \ge 0
得到 0 \le t \le 1

\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}=\frac{5+4t}{1+2t}=2+\frac{3}{1+2t}

所以得到 M=5,m=3

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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brace

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16^# 大中小發表於 2012-5-28 05:51 只看該作者

請問一下填充5如何解,謝謝

請問一下填充5如何解,謝謝

[ 本帖最後由 brace 於 2012-5-28 06:39 AM 編輯 ]

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weiye

瑋岳

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17^# 大中小發表於 2012-5-28 08:43 只看該作者

回復 16# brace 的帖子

填充第 5 題：

令 <a_n> 的公比為 a，<b_n> 的公比為 b，則

解 \displaystyle\left\{\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}=\frac{8}{3}\\ \frac{1}{1-ab}=\frac{4}{5}\end{array}\right.，可得 \displaystyle(a,b)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}) 或 \displaystyle(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})

因此，所求＝\displaystyle\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}+2\cdot\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{2}\right)}+\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{64}{15}.

多喝水。

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brace

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18^# 大中小發表於 2012-5-28 11:50 只看該作者

謝謝瑋岳老師

謝謝瑋岳老師,感謝您.^^

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shiauy

一心

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19^# 大中小發表於 2012-5-28 12:11 只看該作者

想請教填充第11題
如何從cos(A-B)=2/3
獲得跟邊長c有關的訊息？？

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hua0127

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20^# 大中小發表於 2012-5-28 13:07 只看該作者

引用:

原帖由 shiauy 於 2012-5-28 12:11 PM 發表
想請教填充第11題
如何從cos(A-B)=2/3
獲得跟邊長c有關的訊息？？

我是這樣考慮，因為 BC>AC，在 BC 上取一點 D 使得角DAC=角B
這樣的話三角形 ACD 與三角形 BCA 相似，令 AD=x, 則
4/6= x/AB = CD/4, 可解出 CD=8/3, AB=3x/2,
再因為 cos(A-B)=cos(角BAD)=2/3, BD=6-(8/3)=10/3, AD=x, AB=3x/2
可用餘弦定理解出x, 這樣邊長c就出來了。

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