引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-25 07:50 AM 發表 
用特徵多項式做出來，λ=2,2,1;不是該選a答案嗎。對角線化，如何判斷可對角線化
特徵多項式跟最小多項式(minimum polynomial)應該是不一樣的觀念，但他們有一些關係：
令一個矩陣A的特徵多項式為 c(x), 最小多項式為 m(x), 值得注意的地方如下
(1) 根據 cayley-hamilton 定理，c(A)=0 (矩陣，以下都為0矩陣)
(2) A的最小多項式的定義為存在一個次數最小（但要為正）的首項係數為1的多項式m(x)使得 m(A)=0
(3) 這樣定出來的最小多項式若存在，一定唯一（因為首項係數為1, 稱之為 monic polynomial)
(4) 根據定理，m(x) 會整除 c(x)
(5) 根據定理，若 A的特徵根 a, 則 m(a)=0 （純量）, 換句話說， 若 A有特徵根 a , 則 (x-a) 整除 m(x)
(6) 根據定理，若有相異特徵根 a1,a2,...,ak 且 c(x)=((x-a1)^n1)((x-a2)^n2)...((x-ak)^nk), 則
m(x)=((x-a1)^m1)((x-a2)^m2)...((x-ak)^mk) , 其中 1小於等於 mi 小於等於 ni , 對於所有 i
(7) 根據定理，若 A 可對角化且A有相異特徵根 a1,a2,...,ak 若且唯若 A的 m(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-ak)
故本題根據觀念，從答案中大概可推敲A的特徵值為 1,2, 驗證可對角化，可得到 A 的m(x)=(x-1)(x-2)
或直觀的去計算 A 的 c(x)=(x-1)(x-2)^2 故 m(x) =((x-1)^p) ((x-2)^q)
可知 p=1, q=1 or 2 , 從最小的次數開始檢驗即可
最後說明A什麼時候可對角化，就像前輩說的，當代數重根數等於幾何重根數的時候
若A(假設nxn)有特徵根a , 定義a在 c(x)中的重根數為代數重數 ; 定義a所張的特徵空間的維度 dim(V(a))為幾何重數
觀念上可能要去複習一下線代比較好，但可直接用 dim(V(a))= dim(ker(A-aI))=n-rank(A-aI) 記 （這裡 I為單位矩陣）
有一個重要的性質， a的代數重根數恆大於等於幾何重根數。
故A可對角化的充要條件為所有A的相異特徵根均滿足相對應的代數重數等於幾何重數的時候。
若有錯誤也煩請指正。
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本帖最後由 hua0127 於 2012-5-25 10:02 AM 編輯 ]
