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101師大附中(含計算題)

tsusy

寸絲

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11^# 大中小發表於 2012-5-12 23:29 只看該作者

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原帖由 Ellipse 於 2012-5-12 10:14 PM 發表

精彩! 加一個讚!

最近流行這句嗎？

其實是今天下午睡前想到的...只是很懶，醒來的時候才補上的

來補一下，前因後果好了：考場裡的時候，雖然沒做出來，但也弄了一個 "不合法" 的特殊化

那時候，把 \( C \) 點放在 \( B' \) 的正上方，然後令 \( \overline{BD} = \overline{AC} = 8 \)

\(ABDC\) 變成平行四邊形, \(M\) 是中心, \( \overline{DM} \) 是一半的高，得到一樣的式子

不過以上還沒結束...因為響鈴的時候，才發現 \( D \) 點跑出三角形外了

於是乎，在回程的路上，才仔細思索，想到了從外接圓著手

不過在路上，沒有紙筆畫圖，自然還看不出關係

於是又弄了一個特例，把 \( C \) 點沿著那個弧搬到 \( D \)

不要這個特例更犯規... 移動的過程，都符合題意的條件...但最後合在一起角度不見了

不過那時，姑且假設它是個不變量。所以 \(C\), \(D\) 重合 \( \triangle ADB\) 是直角三角形

\( \overline{DM} =\frac{1}{2} \overline{DB} \)，最後當然還是一樣的式子和答案

直到那個正當的做法，做出來後，才消出了怨念，才可以安心地入眠。

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dennisal2000

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12^# 大中小發表於 2012-5-13 00:24 只看該作者

回復 2# shingjay176 的帖子

不好意思~

想請問一下計算第一題為何算幾不等式不能用或是算出來不對呢?

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Ellipse

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13^# 大中小發表於 2012-5-13 00:25 只看該作者

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原帖由 tsusy 於 2012-5-12 11:29 PM 發表

最近流行這句嗎？

其實是今天下午睡前想到的...只是很懶，醒來的時候才補上的

來補一下，前因後果好了：考場裡的時候，雖然沒做出來，但也弄了一個 "不合法" 的特殊化

那時候，把 \( C \) 點放在 \( B' \) 的正上方，然後令 \( ...

您就不用太有虧欠感啦(想不出來會不好睡喔?),這題在考試時會做出來的沒幾個吧?
更何況這週是母親節,還要舟車勞頓去考試,真是辛苦~
想當初我也跑到很遠地方去考試及服務(差點沒跑到離島去~)
不過最後還是幸運地考回自己的家鄉~
以上是題外話~
重點是要祝天下的母親:母親節快樂
如果各位可以的話,考回自己的家鄉
能夠就近照顧父母親,是最大的幸福~
教甄夥伴們加油ㄚ~

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Ellipse

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14^# 大中小發表於 2012-5-13 00:48 只看該作者

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原帖由 dennisal2000 於 2012-5-13 12:24 AM 發表
不好意思~

想請問一下計算第一題為何算幾不等式不能用或是算出來不對呢?

恐怕直接用算幾,"等式"會不成立
但是可以有技巧的用算幾
令X=a/cosθ+b/sinθ ,Y=(cosθ)^2 +(sinθ)^2=1
(a/cosθ) /X + (a/cosθ) /X + (cosθ)^2/Y >= 3 [a^2 /(X^2*Y) ] ^(1/3) ----------------(1)

(b/sinθ) /X + (b/sinθ) /X + (sinθ)^2/Y >= 3 [b^2 /(X^2*Y) ] ^(1/3) ----------------(2)

(1)+(2)整理可得

X>= [a^(2/3)+ b^(2/3)]^(3/2)

以上的過程就是"廣義柯西不等式"的証明方式

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dennisal2000

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15^# 大中小發表於 2012-5-13 01:29 只看該作者

回復 14# Ellipse 的帖子

感謝橢圓大提供更多的資訊給我~

但我有想過是否為等號不成立問題

  等號成立  => a/cosx = b/ sinx 且 a>0 b>0 x銳角

  則 tanx = b/a  ,  x 為銳角  無論 a,b為何應都有對應的角度x才對阿@@"

  想再問這個想法有哪裡有錯誤嗎??

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Ellipse

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16^# 大中小發表於 2012-5-13 10:45 只看該作者

引用:

原帖由 dennisal2000 於 2012-5-13 01:29 AM 發表
感謝橢圓大提供更多的資訊給我~

但我有想過是否為等號不成立問題

  等號成立  => a/cosx = b/ sinx 且 a>0 b>0 x銳角

  則 tanx = b/a  ,  x 為銳角  無論 a,b為何應都有對應的角度x才對阿@@"

...

可是後面一定會用到(sinx)^2=(cosx)^2的條件
題目的a,b未定,這樣(sinx)^2不一定會等於(cosx)^2

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tsusy

寸絲

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17^# 大中小發表於 2012-5-13 11:10 只看該作者

回復 12# dennisal2000 的帖子

個人不喜歡猜來猜去...雖然隱約可以猜中如何操作的。

有時候，其實會覺得這樣問題很奇怪，不過大概見怪不怪了。

學數學(定理)的時候，課本(定理) 總是告訴我們什麼對，在怎樣條件下會有什麼事。

如果要問：「為什麼不對？」那不如問「為什麼覺得對？」或是「那樣做有什麼是對的？」

數學本來就是這樣，對的事，須要理由和證明；不對的事，通常是不需理由的，當然也可以想想錯在哪裡，和反例。

記得某年 (7x) 的大學聯考題，就有這一題，只是 \( a,\, b\) 是給固定的數字 2 和 3

當年讀書的時候，它也被編去某參考書的題目裡...當時沒學過廣義柯西，自然做不出來

只是後來很無聊的，弄了一個柯西加疊合，讓兩個等號同時成立(記憶中，應該是這題)

回到問題，既然不知道您的過程...就來講一個胡說八道的例子，希望有所啟發、幫助

求：\( x \) 是實數， \( f(x) = x^2 +1 \) 的最小值。大家都知道最小值是 1

\( x^2 \geq 0 \) 這是對的 \( 1 \geq 0 \) 這也是對的

所以 \( f(x) \geq 0+0 = 0 \) 也是對的。

以上都是對的，所以 \( f(x) \) 最小值是 \( 0 \)

如果以上邏輯都是對的，那仿此也可以胡說八道說，最小值是任意負數。

評曰：\( 0=0 \) 是對的，所以如果學生在考卷寫 \( 0=0 \)，不能打叉，要在 \( 0 = 0 \) 上面打勾，但是給它 \( 0 \) 分
(改自楊維哲語錄：很快樂的情形，得到 \( 0=0 \)，那你的分數就得零分嘛。)

以上，想通看懂後，再回去思考原問題吧

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lianger

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18^# 大中小發表於 2012-5-13 15:20 只看該作者

回復 1# tsusy 的帖子

計算題5.
求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\left[\frac{x}{n!}\right]=2012\)的所有正整數解。
[解答]
提供一下計算5的詳解，不知是否有更好的寫法，考試的時候好幾題都沒能仔細思考，可能被前面某幾題耽擱了不少時間。

附件

計算5.png (133.61 KB)

2012-5-13 15:20

計算5.png

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tsusy

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19^# 大中小發表於 2012-5-13 15:34 只看該作者

回復 18# lianger 的帖子

想按個讚~~做得比我漂亮多了

補充兩點小東西

1. 計算的時候，其實可以使用連除法，這樣在計算上，會比較方便，以下表格表示之

2	1172
3	586
4	195
5	48
6	9
	1

然後將第二行加起來 \( 1172+586+195+48+9+1 = 2011 \)

2. 關於唯一性：相信學長也注意到了，只是忘了說明為什麼而已

也許是太顯然、太簡單了： \( f(x) = \sum\limits_{n=1}^{10} [\frac{x}{n!}] \) 限制在整數上時是嚴格遞增函數

理由是每項都遞增而 \( [x] = x \) (在整數上) 是嚴格遞增，故 \( f(x) \) 限制在整數時是嚴格遞增函數

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lianger

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20^# 大中小發表於 2012-5-13 16:02 只看該作者

回復 19# tsusy 的帖子

感謝補充，連除法的確降低不少計算，唯一性也的確該敘述一下比較完整。

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