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101文華高中（含計算題）

Ellipse

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41^# 大中小發表於 2012-5-2 20:27 只看該作者

引用:

原帖由 mandy 於 2012-5-2 02:41 PM 發表
請問填充第11題.....我用複數極式做, 只求出101個解, 不知103從那來?

謝謝hua0127和以上其他老師!!

11.
實數\(a,b\)滿足\((a+bi)^{101}=a-bi\)(其中\(i=\sqrt{-1}\))，則數對\((a,b)\)有　　　組解。
[解答]
假設a=cosp ,b=sinp
則cos(101p)+i*sin(101p)=cos(-p)+i*sin(-p)
101p=-p+2kPi (k為整數)
102p=2kPi
p=2kPi/102
則k=0,1,2,.........,101
有102個
再加上a=0,b=0這組
共102+1=103組

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老王

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42^# 大中小發表於 2012-5-2 20:37 只看該作者

四面體ABCD的體積公式，我覺得這個五階的應該比較好記
\(\displaystyle 288V^2=\left |
\begin {array} {clr}
0 & 1 & 1&  1 & 1  \\
1 & 0 & AB^2 & AC^2 & AD^2  \\
1 & BA^2 & 0 & BC^2 & BD^2  \\
1 & CA^2 & CB^2 & 0 & CD^2  \\
1 & DA^2 & DB^2 & DC^2 & 0  \\
\end {array} \right |
\)

來源:http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html

101.8.1版主補充
游森棚老師所寫的文章，有對稱之美的海龍公式

附件

有對稱之美的海龍公式.zip (25.9 KB): 2012-8-2 11:02, 下載次數: 13704

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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arend

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43^# 大中小發表於 2012-5-3 06:21 只看該作者

引用:

原帖由 hua0127 於 2012-5-2 10:29 AM 發表
[quote]原帖由 tsusy 於 2012-5-1 08:45 PM 發表

注意，題目給的邊是對邊和相等，如果沒這個條件的話，

是不可能剛好切四個邊的

感謝tsusy～對邊和相等這句話直接切入我的盲 ...

hua0127老師

你提供填充3的解法很漂亮
我居然用變換座標

8^2<=c^2+d^2<=12^2 1662<=(-2c)^2+(-2d)^2<=24^2
3^2<=(a-8)^2+(b-6)^2<=17^2

然後用柯西不等式

不知這樣做,有沒有疑義

謝謝

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arend

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44^# 大中小發表於 2012-5-3 06:25 只看該作者

請教兩題

填充5: 除了硬做外,有沒有更漂亮的解法

填充1:除了消y解x值,(有點複雜),有無其他解法?

謝謝

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cplee8tcfsh

彬爸

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45^# 大中小發表於 2012-5-3 06:37 只看該作者

回復 44# arend 的帖子

填充 5
試求\(\displaystyle \int_1^2 (x^3-5x^2+x-6)(x-1)^3 dx\)的值。
[提示]
取 y=x-1
\(\displaystyle \int_0^1 y^6 -2 y^5 -6 y^4 - 9 y^3 dy \)

填充 1
請參見 36# polar31442 的帖子
用正方形得面積

三願: 吃得下,睡得著,笑得出來!

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hua0127

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46^# 大中小發表於 2012-5-3 08:41 只看該作者

你客氣了~我其實還不是老師><
也只是眾多考生之一，只是最近發現這個很棒的地方
在準備之餘也順便跟版上的眾多高手請益

我看了依下你的柯西，原則上等號成立的話自然是沒有問題
且等號成立的點剛好在圖形上兩圓靠最近的兩個點，所以我認為你的解法是對的

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hua0127

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47^# 大中小發表於 2012-5-3 09:00 只看該作者

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-2 08:27 PM 發表

假設a=cosp ,b=sinp
則cos(101p)+i*sin(101p)=cos(-p)+i*sin(-p)
101p=-p+2kPi (k為整數)
102p=2kPi
p=2kPi/102
則k=0,1,2,.........,101
有102個
再加上a=0,b=0這組
共102+1=103組

請教依下橢圓兄:
我的想法跟你其實也差不多，若先令 z=a+bi, z'=a-bi
原方程式可看為 z^101= z'  ----(1)
兩邊先取絕對值: 先驗證 z 的絕對值為 1
然後將 (1) 式兩邊同乘以 z 得到 z^102 =z*z' = 1  ----(2)
觀察 (1) (2) 兩個方程式在 z不等於 0 的情況下是等價的，也就是根應該一樣多
(2) 有 102 個根(代數基本定理)  但是  z=0 顯然為(1)的根
故方程式(1) 的根有 102+1=103個

但有一點小疑問就是我在等號兩邊同乘以z 的時候不是會增加一個根 z=0 嗎?
但是乘完之後z=0 盡然還要另外加進去，這觀念我還是有些疑惑......