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15.
四邊形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=14\)、\(\overline{BC}=9\)、\(\overline{CD}=7\)、\(\overline{DA}=12\)，求四邊形\(ABCD\)的所有內切圓中，面積最大者為 。
[解答]
剛剛又重試了一下
令 14, 9 的夾角是 \( \alpha, 7,\,12 \) 的夾角是 \( \beta \)，由對角線長和餘弦得
\( 14^{2}+9^{2}-2\cdot14\cdot9\cos\alpha=12^{2}+7^{2}-2\cdot12\cdot7\cos\beta \)
\( B=14\cdot9\cos\alpha-12\cdot7\cos\beta=\frac{14^{2}+9^{2}-12^{2}-7^{2}}{2} \)
\( A=\frac{1}{2}(14\cdot9\sin\alpha+7\cdot12\sin\beta) \)
\( \frac{(2A)^{2}+B^{2}}{2\cdot7\cdot9\cdot12\cdot14}=\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta + c=-\cos(\alpha+\beta) + c \leq1 +c \)
而 \( r = \frac{2A}{7+9+12+14}\)
等號成立條件為，即 \( \alpha+\beta=\pi \), 此時，四邊形為圓內接四邊形。
\( r \) 有最大值，但是否應該檢驗此時內切圓的存在性呢？
