2012AIME 試題與簡答

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相關資訊:

2012年美國國際數學邀請賽(AIME)
測驗日期：3月17日(星期六)
測驗時間：08：40 ~ 09：00 預備時間
　　　　　09：00 ~ 12：00 測驗時間
報名日期：2月24日起至3月2日止
報名費用：350元

資料來源:
http://www.99cef.org.tw/news_02.php?id=140

101.3.19版主補充
幫忙將題目重新打字

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-3-19 07:03 PM 編輯 ]

感謝Joy091提供題目
11.
給定三個半徑分別為3、4、5的同心圓，考慮所有邊長為s，它的三個頂點分別在這三個圓的圓周上的正三角形。若這些正三角形最大可能的面積可以表示為\( \displaystyle a+\frac{b}{c} \sqrt{d} \)，其中a、b、c、d均為正整數，b與c互質，且d不能被任何質數的平方所整除。試求\( a+b+c+d= \)？

看到這題好熟悉阿，我剛才還花了點時間將這篇找出來
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=31198　(連結已失效)
例題：以座標Ｏ為圓心，分別作半徑為５、４、３的圓
一固定點Ａ座標為（０, ３）
有一動點Ｂ在半徑為４的圓上,有一動點Ｃ在半徑為５的圓上
找到適當的點Ｂ與Ｃ，使得△ＡＢＣ為一正三角形。
是否能藉由尺規作圖找到動點Ｂ與Ｃ？


做法：
(1)作邊長為3的正三角形OAD
(2)以D為圓心，取半徑4作圓，交圓於C1、C2
(3)以AC1、AC2為邊長作正三角形
△AB1C1、△AB2C2即為所求

至於要算大正三角形的邊長可以將\( \overline{AD} \)、\( \overline{C2D} \)連接起來
因為△OAD是正三角形，所以\( ∠ADO=60^o \)
又因為△OC2D為邊長3、4、5的直角三角形，所以\( ∠ODC2=90^o \)

在△ADC2中，\( \overline{AD}=3 \)、\( \overline{C2D}=4 \)，\( ∠ADC2=150^o \)
用餘弦定理可以求得\( \overline{AC2}=\sqrt{25+12 \sqrt{3}} \)
三角形面積為\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}(25+12 \sqrt{3})=9+\frac{25}{4} \sqrt{3} \)

但看完答案又想到這不就是教甄很愛考的一題
正三角形ABC內有一點P，\( \overline{PA}=3 \)、\( \overline{PB}=4 \)、\( \overline{PC}=5 \)，求正三角形的邊長？
而圖形中的原點到正三角形的三個頂點距離剛好就是3、4、5



而文章中另外一題作落在三條平行線上的正三角形也用到類似的概念
先作小的正三角形再作出大的正三角形，這兩種問題可以一起準備

一個正三角形△ABC的三個頂點分別位於三條平行線上，這三條平行線的距離是3單位和1單位，則△ABC的面積為？
(98士林高商，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=890)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-8-30 06:26 AM 編輯 ]

請問第7題、第8題、第13題、第14題

第 7 題：

假設小布走路 \(x\) 公里，阿丹走路 \(y\) 公里，

則小布騎馬 \(n-x\) 公里，阿丹騎馬 \(n-y\) 公里，

\(\Rightarrow (n-x)+(n-y)=n\Rightarrow x+y=n\)

利用小布所花時間＝阿丹所花時間（小時）

可得 \(\displaystyle \frac{x}{4}+\frac{n-x}{6}=\frac{y}{2.5}+\frac{n-y}{6}\)

將 \(n=x+y\) 帶入上式，可得 \(\displaystyle \frac{x}{4}+\frac{y}{6}=\frac{y}{2.5}+\frac{x}{6}\)

\(\displaystyle\Rightarrow y=\frac{5}{14}x\)

因為栓馬點與 \(n\) 都是整數，所以 \(n-x,n-y\) 為整數，可得 \(x,y\) 都為整數，

\(\displaystyle\Rightarrow y=\frac{5}{14}x\Rightarrow x:y=14:5\)

令 \(x=14m, y=5m\) 則 \(n=19m\)，其中 \(m\) 為自然數，

當 \(m=1\) 時，可得 \(n\) 有正整數最小值為 \(19\)，

此時，花費時間\(\displaystyle=\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=\frac{13}{3}\)（小時），

所求，\(\displaystyle n+t=13+\frac{13}{3}\cdot60=279.\)

第 8 題：


如上圖，設由內往外各節點位置分別持有硬幣數為 \(a,b,c,d\)，則 \(a+5b+5c+5d=3360\)

在最中心位置的同學，經一次交換之後，

自己的 \(a\) 個硬幣全部送出去，流入的硬幣數為 \(\displaystyle 5\cdot \frac{b}{3}\) 個，

因交換前後硬幣數量不變，可列式得 \(\displaystyle a=5\cdot\frac{b}{3}\)

其餘同理可列式得 \(\displaystyle b=\frac{a}{5}+2\cdot\frac{c}{4}, c=2\cdot\frac{b}{3}+2\cdot\frac{d}{4}, d=2\cdot\frac{c}{4}+2\cdot\frac{d}{4}\)

由以上方程式，可解得 \(a=280, b=168,c=d=224.\)

了解了，其他兩題是否比較困難?謝謝指教。

難不難很難說（畢竟有時候某些人突然想到某些特定點～或許就覺得變簡單了～：Ｐ）～

小弟也是有空才看看想想～～哈

不然我提供一個還沒想完～不知要怎樣接續完整的最初的想法，

您可以一起想看看怎樣接續下去好了。

第 13 題假設由原點開始共經過 \(a,b,c,d\) 次的第一、二、三、四種跳動，

而後到達 \((x,y)\) 點，可將 \(x,y\) 以 \(a,b,c,d\) 來表示，

然後找看看 \(x,y\) 有沒有必定要滿足何種規律，

而且能否證明滿足該特定規律的點，可以經由有限次的題敘中的跳動而得。

如果可以處理完上面這段，應該就會變得容易了，

這大概就是小弟的初始想法。：Ｐ

那到底是蝦咪規律呢？慢慢想囉～

（也有可能～想到最後才發現根本不是這個方向也說不一定～：Ｐ）

13.
如同瑋岳老師所說的, 列出原點附近的點後, 不難觀察出點的規律
所有的點都是 \(\alpha(4,-1)+\beta(-1,4)\) 這種形式的點, 其中 \( \alpha\), \( \beta \) 都是整數.
只要去計算 \( x+y =\pm(3+6k) \) , ( \( k\in \mathbb{Z}\), \( 0 \le k \le 16 \)) 與 \( x-y= \pm (5 + 10t) \), ( \( t\in \mathbb{Z}\), \( 0 \le t \le 9 \) ) 兩組平行線的交點,
以及 \( x+y =6k \) , ( \( k\in \mathbb{Z}\), \( -16 \le k \le 16 \)) 與  \( x-y=10t \), (  \( t\in \mathbb{Z}\), \( -10 \le t \le 10 \) ) 兩組平行線的交點,
總計 \( 34 \times 20 + 33 \times 21 = 1373 \) 個點.

其實這一題我一直覺得很怪

題目只有說 "整數公里有驛站"  並沒有說 "每個整數公里有驛站"

所以應該只能確定答案是 279 的整數倍

但為何能夠確定就是 279 x 1 呢?

是我理解有問題嗎??

還請各位高手不吝指教  謝謝!!

題目有寫「第一次相遇」時，

此時即是當 n 有「最小整數值」時。