2009希望盃國際數學邀請賽

請問 :

1. 若關於x的方程 (4^x)+(2^x)m+5=0至少有一實根在區間[1,2]內, 則實數m的取值範圍為_________ .

2. 將集合S={ 1,2,3,....., 36 }分拆為k個互不相交的非空子集A1, A2, A3, ....., Ak , 若對於每一個Ai (i=1,2,....k)
   其中任意兩個不同的元素之和都不是完全平方數, 則 k 的最小值是_____ .

3. 數學大師華羅根教授生前常以數學方法檢測古詩文的合理性, 有一首唐詩: 白日依山盡, 黃河入海流; 欲窮千里目,
    更上一層樓. 再上一層樓能否見到千里外的風光. 如果將全球最高505m的101大樓移到8848m的世界屋頂聖母峰上,
    此時身高2m的大漢站在101大樓的樓頂上, 假設地球是半徑6375km的球體, 且不考慮視力問題, 他將可以看到大約多
   少公里遠的風光.  (A) 80km  (B)400km  (C)800km  (D)1200km  


Ans:1.  [-21/4 , -2sqrt(5) ]     2. 3    3. (A)

#1
令f(x)=(4^x)+(2^x)m+5 ,由勘根定理得 f(1)*f(2)<=0
即 (4+2m+5)*(16+4m+5)<=0
=> -21/4 <=m <= -9/2 ----------------------(1)

令t=2^x,f(x)=> t^2+m*t+5
因為f(x)=0至少有一實根,所以D>=0
即m^2-4*1*5>=0
得 m>=2*5^0.5或m<=-2*5^0.5-----------(2)

由(1)&(2)得-21/4<= m <= -2*5^0.5