100桃園高中

感謝 weiye老師~

        不過我還是有些疑惑的地方, 那個區域R是怎麼取出來的
        
        題目是\( 1-\sqrt{4-y^2}\le x \le 0 \), 我會取後兩部份 得到老師你畫的R中再與\(y \le x\)取交集~

        得到一個像扇型的小塊,因此x算出來都是\( \displaystyle \frac{1-\sqrt{7}}{2} \)

        看來我還不懂這個不等式表達的區域>"<

        煩請老師說明>"<

先來畫

\(1-\sqrt{4-y^2}=x\) （也就是畫 \(x-1=-\sqrt{4-y^2}\)）

是左半圓如下



然後 \(1-\sqrt{4-y^2}\leq x\) 的圖形如下



最後 \(1-\sqrt{4-y^2}\leq x\leq 0\) 的圖形是




我猜你的問題是在第二張圖吧～～

觀察第一張圖上的任意一點 \((x_0,y_0)\) 與該點水平向右移動任意一點 \((x_1,y_0)\)

恆有 \(1-\sqrt{4-y_0^2}=x_0\leq x_1\)



亦即 \((x_1,y_0)\) 必滿足 \(1-\sqrt{4-y_0^2}\leq x_1\)

所以「左半圓弧的右邊」任意點 \((x,y)\) 都會滿足 \(1-\sqrt{4-y^2}\leq x.\)

完全命中阿!!! >"<

太感謝weiye老師了 (T0T)

想請教填充第3題 謝謝
設\(z\)為複數，若\( \displaystyle \frac{z-3}{z}=2(cos80^{\circ}+i sin80^{\circ}) \)，則複數\( \displaystyle \frac{z-1}{z} \)之主幅角為　　　。

填充題第 3 題

\(\displaystyle 1-\frac{3}{z} = 2\left(\cos80^\circ+i\sin80^\circ\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow 3-\frac{3}{z}=2\left(1+\cos80^\circ+i\sin80^\circ\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow 1-\frac{1}{z}=\frac{2}{3}\left(1+\cos80^\circ+i\sin80^\circ\right)\)

　　　　　\(\displaystyle =\frac{2}{3}\left(2\cos^2 40^\circ + 2\sin40\cos40^\circ\right)\)

　　　　　\(\displaystyle =\frac{4\cos40^\circ}{3}\left(\cos40^\circ+i\sin40^\circ\right)\)

\(\displaystyle 1-\frac{1}{z}\) 的主幅角為 \(40^\circ\) 且向徑為 \(\displaystyle \frac{4\cos40^\circ}{3}\)

另解，圖解，看附件。：）

填充七
若兩直線在\( y=ax^2 \)的頂點\(O\)互相垂直，且分別與拋物線交於\(A\)、\(B\)兩點，若\( \Delta OAB \)的最小面積為4，則\( a= \)　　　。
[解答]
假設坐標\(\displaystyle A(t,at^2)、B(s,as^2) \)
要滿足\(\displaystyle ts+a^2t^2s^2=0 \)

也就是\(\displaystyle a^2ts=-1 \)
可以知道\(\displaystyle t,s \)一正一負


計算三角形OAB面積\(\displaystyle (OAB) \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}|ats^2-at^2s| \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}|ats||s-t| \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2|a|}|t-s| \)

不妨假設\(\displaystyle t>0>s \)
\(\displaystyle t-s=t+(-s)\ge 2\sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{1}{|a|} \)
所以三角形OAB面積的最小值就是
\(\displaystyle \frac{1}{a^2} \)
所以
\(\displaystyle \frac{1}{a^2}=4 \)
\(\displaystyle a=\pm\frac{1}{2} \)

計算一
已知一個直角三角形\( ABC \)，\( \overline{BC} \)為斜邊，斜邊長為\( a \)，斜邊上的高為\( h \)，\(O\)為斜邊上的中點，今將斜邊\(n\)(\(n>1\)，\(n\)為奇數)等分，若\(P\)、\(Q\)為其中兩個等分點，且\( \displaystyle \overline{PQ}=\frac{a}{n} \)，\(O\)點介於\(P\)、\(Q\)之間，設\(∠PAQ=\alpha\)，請問\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}n tan \alpha=\)？
[解答]
指令"\angle"失效~~~害我修了半天，一直不成功!!!
\(\displaystyle \alpha= ∠ QAH- ∠ PAH \)
\(\displaystyle \tan ∠ QAH=\frac{QH}{AH} \)
\(\displaystyle \tan ∠ PAH=\frac{PH}{AH} \)
所以
\(\displaystyle \tan\alpha=\frac{\frac{QH}{AH}-\frac{PH}{AH}}{1+\frac{QH}{AH}\times\frac{PH}{AH}} \)

\(\displaystyle =\frac{PQ \times AH}{AH^2+QH \times PH} \)

於是
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \tan\alpha=\frac{ah}{AH^2+OH^2} \)
\(\displaystyle =\frac{ah}{OA^2} \)
\(\displaystyle =\frac{4h}{a} \)


測試
\(\displaystyle \angle A \)

想請教一下：
這樣是否[0,1]時抛物線的旋轉範圍涵蓋直線的  ，所以只積抛物線
   [1,2]時直線的旋轉範圍涵蓋抛物線的，所以只積直線
感恩解惑!!

可以以請教一下填充第10題嗎??高中數學101中p.366第2題有類似的...但我還是不懂怎麼由斜率看出範圍

設一線性規劃的可行解區域為如右圖所示之四邊形內部(含邊界)，直線\( \overline{AB} \)、\( \overline{AD} \)的斜率分別為\(-3\)、2，而目標函數為\( kx-y+3 \)。若已知\(A\)為此目標函數取得最大值之唯一的點，則\(k\)值的範圍要有限制。若以不等式表示，則\(k\)之範圍為　　　。

先觀察直線 \(kx-y+3=m\)，其中 \(k,m\) 為實數

此直線的 \(y\) 截距為 \(3-m\)



題目說「\(kx-y+3\)」在 \(A\) 點有最大值，

也就是說

『對固定的 \(k\) 與變動的 \(m\) 所得的平行直線系中，

　通過 \(A\) 點的那一條直線，

　是所有平行直線系中 \(y\) 截距最小值的一條（如此才會有最大的 \(m\) 值）』

因此斜率 \(k\) 必須要大於 \(AD\) 的斜率，

如此所得的平行直線系中，

有最小 \(y\) 截距的直線才會唯一的是通過 \(A\) 點的那一條。