承上題的類似題，
題目：
圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 和平面 \(2x+3y=5\) 交一雙曲線，求此雙曲線的焦點、貫軸頂點座標
題目改自 jisam 問的
https://math.pro/db/thread-864-1-1.html 此題。
感謝 bugmens 介紹此題目的原始出處h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41341 連結已失效
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解答：
設在直圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 的內部區域與其相切之圓的圓心為 \((0,0,t)\)，
則畫圖，看出半徑為 \(r=\displaystyle\frac{|t|}{\sqrt{2}}\)，
利用此圓與平面 \(2x+3y=5\) 相切（圓心到平面的距離＝半徑），
得
\[
\frac{|2\times0+3\times0+0\times t-5|}{\sqrt{2^2+3^2+0^2}}=\frac{t}{\sqrt{2}}
\]
\[\Rightarrow t=\pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}}.
\]
故與直圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 及平面 \(2x+3y=5\) 皆相切之圓的圓心為 \(\displaystyle (0,0,\pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}})\)，半徑為 \(\displaystyle r=\frac{5}{\sqrt{13}}\)，
再利用點到面的投影點公式，
求出圓心在 \(2x+3y=5\) 上的投影點即為兩焦點 \(F_1, F_2\) 為 \(\displaystyle\left(\frac{10}{13}, \frac{15}{13}, \pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}}\right)\).
而要求貫軸頂點的話，（以下也是畫圖慢慢看出來的）
由 \(F_1, F_2\) 往上、下（向 \(z=0\) 平面靠近）分別移動 \(\displaystyle r\tan 22.5^\circ=\frac{5}{\sqrt{13}}\left(\sqrt{2}-1\right)\)，
即可得貫軸的兩頂點為 \(\displaystyle\left(\frac{10}{13}, \frac{15}{13}, \pm\frac{5}{\sqrt{13}}\right)\).
參考資料： Dandelin Spheres ─
http://www.clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html
