回復 3# mandy 的帖子
5.
設 \alpha_1,\alpha_2 \ldots \alpha_1n 是n次多項方程式 x^n+x^{n-1}+\ldots+x+1=0 的n個根，試求： \displaystyle \frac{1}{\alpha_1-1}+\frac{1}{\alpha_2-1}+\frac{1}{\alpha_n-1}= 。
[解答]
令 f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1
\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-\alpha_1}+\frac{1}{x-\alpha_2}+\cdots+\frac{1}{x-\alpha_n}
所求為
\displaystyle -\frac{f'(1)}{f(1)}=-\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n+1}=-\frac{n}{2}
6.
設 \alpha,\beta,\gamma,\theta \in R ，試求： \sqrt{(cos \theta-\alpha)^2+(sin \theta-\beta)^2}+\sqrt{(cos \gamma-\alpha+5)^2+(sin \gamma-\beta+15)^2}+\sqrt{\alpha^2+\beta^2-24\alpha+18\beta+225}+\sqrt{\alpha^2+\beta^2-60\alpha-20\beta+1000} 的最小值為 。
[解答]
視為點 P(\alpha,\beta) 到 A(\cos\theta,\sin\theta) 、 B(5+\cos\gamma,15+\sin\gamma)
還有C(12,-9)和D(30,10)的距離和
A在單位圓O上，B在圓 M : (x-5)^2+(y-15)^2=1 上，P到圓的最短距離會等於到圓心距離減去半徑，
所以所求可以看成P到O、M、C、D四點距離和的最小值再減2
最小值發生在四邊形OCDM對角線交點
所求為 25+10\sqrt{10}-2=23+10\sqrt{10}
