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100麗山高中

martinofncku

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11^# 大中小發表於 2011-6-23 23:04 只看該作者

請問我那邊做錯了呢？

謝謝您的回答！那我還想問，請問我那邊做錯了呢？

∵B點在x−y−1=0上
∴p−q−1=0
⇒pp2−q2−qp2−q2−1p2−q2=0
⇒x−y−1p2−q2=0

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weiye

瑋岳

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12^# 大中小發表於 2011-6-23 23:11 只看該作者

回復 11# martinofncku 的帖子

不是做錯，是沒做完~~

題目要求 A 點軌跡方程式，

就是要求 x

y 要滿足的關係式，

而你列的式子最後還是有在變動的 p

q

而不是單純只有 x

y 。

多喝水。

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martinofncku

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13^# 大中小發表於 2011-6-23 23:18 只看該作者

回復 12# weiye 的帖子

不好意思，我比較笨一點。可是，p,q不是題目給的常數嗎？

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weiye

瑋岳

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14^# 大中小發表於 2011-6-23 23:21 只看該作者

回復 13# martinofncku 的帖子

不是，

p

q 是變數，

B(p

q) 是位在 x−y−1=0 直線上的動點。

如果 p

q 是常數的話，

那 A(x

y)=(pp2−q2

qp2−q2) 就是定點了，

何必求軌跡方程式呢？：Ｐ

多喝水。

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martinofncku

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15^# 大中小發表於 2011-6-23 23:32 只看該作者

回復 14# weiye 的帖子

我懂了，真地很謝謝您！

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RainIced

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16^# 大中小發表於 2011-6-24 06:48 只看該作者

老師好，我想請問第14題。

-------------------------------------------------------------

以下是我從美夢成真教甄討論區參考到的解答，
令 AB = x，∠BAC = 2θ，AD 平分 ∠BAC，交 BC 於 D
△ABD + △ACD = △ABC
(1/2) * x * 3 * sinθ + (1/2) * (15/x) * 3 * sinθ = (1/2) * 15 * sin2θ
cosθ = (1/10)(x + 15/x) ≧ (1/10) * 2√15 = √15 / 5
sin ≦ √10 / 5
但是之後我就看不懂了，所以想多問問，謝謝老師。

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八神庵

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17^# 大中小發表於 2011-6-28 17:35 只看該作者

引用:

原帖由 RainIced 於 2011-6-24 06:48 AM 發表
老師好，我想請問第14題。

-------------------------------------------------------------

以下是我從美夢成真教甄討論區參考到的解答，
令 AB = x，∠BAC = 2θ，AD 平分 ∠BAC，交 BC 於 D
△ABD + △ACD = △ABC
(1/2) ...

參考一下附檔
希望這樣的解說你看得比較清楚

cos

5

15
5

15

cos

1
\displaystyle 0<\theta\le \phi\left(\phi=arccos\frac{\sqrt{15}}{5}\right)<\frac{\pi}{4}(最後的一個小於是為了確定2\theta的範圍)
\displaystyle 0<2\theta\le 2\phi<\frac{\pi}{2}
0<sin2\theta\le sin2\phi
等號成立時\theta=\phi，此時\displaystyle sin\theta=\frac{\sqrt{10}}{5}
\displaystyle sin2\theta=2sin\theta cos\theta=2\frac{\sqrt{10}}{5}\frac{\sqrt{15}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}

順便向各位請教一下第12題

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老王

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18^# 大中小發表於 2011-6-29 16:28 只看該作者

回復 16# RainIced 的帖子

14題
已知\triangle ABC中，\overline{AB}\times \overline{AC}=15，\angle A的角平分線長為3，則\triangle ABC的最大面積為何？
[解答]
老樣子，我都會去想如何做出這樣的三角形

假設角A的平分線與BC交於D，那麼由 AD^2=AB \times AC-BD \times CD
可以得到 BD \times CD=6
又 AB:AC=BD:CD
可以得到 AB^2:BD^2=5:2 ，也就是 AB:BD=\sqrt5:\sqrt2=AI:ID ，其中I為內心
這告訴我們內心位置是固定的
就可以控制內切圓半徑r，去做出三角形ABC，作法是
作線段AD，並取出I
已I為心，r為半徑作內切圓
過A作圓的兩條切線
過D作圓的一條切線
此三切線所圍的三角形就是三角形ABC

因為 AB \times AC 是定值，所以過A的兩切線夾角越大，三角形ABC面積就越大；
顯然r的限制是 r \le ID
所以當 r=ID 時夾角最大，此時三角形對稱於AD，為等腰三角形，簡單計算就可以得到答案。

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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阿光

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19^# 大中小發表於 2011-8-7 20:43 只看該作者

想請教第5,6,18,19,24題一次麻煩老師解這麼多題,真不好意思

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weiye

瑋岳

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20^# 大中小發表於 2011-8-7 22:23 只看該作者

回復 19# 阿光的帖子

第 6 題：
如圖(二)，\triangle ABC中，\overline{AB}=10，\overline{AC}=8，\overline{BC}=6，圓O為過C且與\overline{AB}相切的最小圓，圓O交\overline{BC}於E，交\overline{AC}於F，則\overline{EF}的長為=　　　。
[解答]
因為圓 O 為過 C 且與 \overline{AB} 相切的最小圓，

所以 \overline{CD} 為直徑，

\displaystyle \overline{CD} = \frac{\overline{AC}\times \overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{24}{5}

因為 \angle FCE=90^\circ

所以 \overline{EF} 亦為圓 O 的直徑，

故， \displaystyle \overline{EF}=\overline{CD}=\frac{24}{5}.

第 18 題：
如圖(三)，一圓交一正三角形ABC於D、E、F、G、H、I六點，若\overline{CF}=1，\overline{FG}=13，\overline{AG}=2，\overline{HI}=7，則\overline{DE}=　　　。
[解答]
此正三角形邊長 =1+13+2=16

\overline{AF}\times \overline{AG} = \overline{AH}\times \overline{HI}

　　\Rightarrow 15\times2=\overline{AH}\times(\overline{AH}+7)

　　\Rightarrow \overline{AH}=3

　　\Rightarrow \overline{BI}=16-(7+3)=6

令 \overline{CE}=x, \overline{BD}=y

由 \overline{CF}\times \overline{CG}=\overline{CE}\times \overline{CD}

　　且 \overline{BI}\times \overline{BH}=\overline{BD}\times \overline{BE}

可得 x(16-y)=14 且 y(16-x)=78

兩式相減，再以帶入消去法，

可解得 x=6-\sqrt{22}, y=10-\sqrt{22}

故，\overline{DE}=16-(x+y)=2\sqrt{22}.

113.5.8補充
如右圖，圓與正三角形\Delta ABC的三邊交出6個點，如果\overline{AG}=2、\overline{GF}=13、\overline{FC}=1、\overline{HI}=7，試求\overline{DE}=　　　。
(113台北市立陽明高中，https://math.pro/db/thread-3864-1-1.html)

第 24 題
如下圖，麗山高中的L形圖騰由一些方格所構成
(1)用5種顏色來塗這些方格，規定相鄰的格子必須著不同色，顏色可重複使用，則著色方法有　　　種。
(2)若用2\times1恰兩個方格大小的長方形磁磚來鋪這個L形的圖騰，規定不能敲碎磁磚，且須剛好鋪滿整個L形的圖騰，則鋪法有　　　種。
□□
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□□
□□
□□□□
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[解答]
第 1 小題

如圖，先塗紅色區域，再塗藍色區域，

然後每兩個為一組塗色區域，

可得所求＝(5\times 4)\times(1\times4+3\times3)^7=20\times 13^7

多喝水。

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