回復 3# 紫月 的帖子
第 11 題:設 \(a\geq b\geq c\geq-2\) 且 \(3a + 2b - c = 4\),則 \(a + 2b + c\) 之最大值=?
解答:
令 \(x=a-b, y=b-c, z=c+2\)
\(3a + 2b - c = 4\)
\(\Rightarrow 3(a-b)+5(b-c)+4(c+2)=12\)
\(\Rightarrow 3x+5y+4z=12\)
則要滿足的限制條件為 \(3x+5y+4z=12,x\geq0,y\geq0,\) 且 \(z\geq0\)
滿足條件的區域為一個三角形,
且此三角形的各頂點為 \((4,0,0), (0,\frac{12}{5},0),(0,0,3)\)
再來研究目標函數~
\(a + 2b + c = (a-b)+3(b-c)+4(c+2)-8\)
\(=x+3y+4z-8\)
目標函數為 \(x+3y+4z-8\)
將各頂點帶入,可知當 \((x,y,z)=(0,0,3)\) 時,
\(x+3y+4z-8=4\) 為最大值,
亦即,當 \((a,b,c)=(1,1,1)\) 時,
\(a + 2b + c=4\) 為最大值。